Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5240 / 1176
↖ ↑ ↗
← N 77.841848°
E 50.273437°		 ← 1 029.15 m → N 77.841848°
E 50.317383°		 →
↑
1 029.55 m
↓
↑
1 029.55 m
↓
N 77.832589°
E 50.273437°		 ← 1 029.92 m →
1 059 961 m²		 N 77.832589°
E 50.317383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63970947265625 y=0.14361572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63970947265625 × 213)
    floor (0.63970947265625 × 8192)
    floor (5240.5)     		tx = 5240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14361572265625 × 213)
    floor (0.14361572265625 × 8192)
    floor (1176.5)     		ty = 1176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5240 / 1176 ti = "13/5240/1176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5240/1176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5240 ÷ 213
    5240 ÷ 8192     		x = 0.6396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1176 ÷ 213
    1176 ÷ 8192     		y = 0.1435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6396484375 × 2 - 1) × π
    0.279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87743701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1435546875 × 2 - 1) × π
    0.712890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23961195024902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87743701} λ = 0.87743701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23961195024902))-π/2
    2×atan(9.38968691472055)-π/2
    2×1.46469643293211-π/2
    2.92939286586422-1.57079632675     		φ = 1.35859654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87743701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.273437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35859654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.841848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5240 KachelY 1176 0.87743701 1.35859654 50.273437 77.841848
    Oben rechts KachelX + 1 5241 KachelY 1176 0.87820400 1.35859654 50.317383 77.841848
    Unten links KachelX 5240 KachelY + 1 1177 0.87743701 1.35843494 50.273437 77.832589
    Unten rechts KachelX + 1 5241 KachelY + 1 1177 0.87820400 1.35843494 50.317383 77.832589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35859654-1.35843494) × R
    0.000161599999999984 × 6371000     		dl = 1029.5535999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35859654-1.35843494) × R
    0.000161599999999984 × 6371000     		dr = 1029.5535999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87743701-0.87820400) × cos(1.35859654) × R
    0.000766990000000023 × 0.210610853227156 × 6371000     		do = 1029.1485210957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87743701-0.87820400) × cos(1.35843494) × R
    0.000766990000000023 × 0.210768825785455 × 6371000     		du = 1029.92045294184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35859654)-sin(1.35843494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210610853227156-0.210768825785455)×R²
    abs(0.87820400-0.87743701)×0.000157972558299163×R²
    0.000766990000000023×0.000157972558299163×6371000²
    0.000766990000000023×0.000157972558299163×40589641000000     		ar = 1059960.93974024m²