Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5246 / 1158
↖ ↑ ↗
← N 78.007325°
E 50.537109°		 ← 1 015.35 m → N 78.007325°
E 50.581054°		 →
↑
1 015.73 m
↓
↑
1 015.73 m
↓
N 77.998190°
E 50.537109°		 ← 1 016.11 m →
1 031 705 m²		 N 77.998190°
E 50.581054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64044189453125 y=0.14141845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64044189453125 × 213)
    floor (0.64044189453125 × 8192)
    floor (5246.5)     		tx = 5246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14141845703125 × 213)
    floor (0.14141845703125 × 8192)
    floor (1158.5)     		ty = 1158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5246 / 1158 ti = "13/5246/1158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5246/1158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5246 ÷ 213
    5246 ÷ 8192     		x = 0.640380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1158 ÷ 213
    1158 ÷ 8192     		y = 0.141357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640380859375 × 2 - 1) × π
    0.28076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.88203895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141357421875 × 2 - 1) × π
    0.71728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2534177773396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88203895} λ = 0.88203895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2534177773396))-π/2
    2×atan(9.52021828216826)-π/2
    2×1.46614049286932-π/2
    2.93228098573864-1.57079632675     		φ = 1.36148466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88203895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.537109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36148466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.007325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5246 KachelY 1158 0.88203895 1.36148466 50.537109 78.007325
    Oben rechts KachelX + 1 5247 KachelY 1158 0.88280594 1.36148466 50.581054 78.007325
    Unten links KachelX 5246 KachelY + 1 1159 0.88203895 1.36132523 50.537109 77.998190
    Unten rechts KachelX + 1 5247 KachelY + 1 1159 0.88280594 1.36132523 50.581054 77.998190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36148466-1.36132523) × R
    0.000159429999999849 × 6371000     		dl = 1015.72852999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36148466-1.36132523) × R
    0.000159429999999849 × 6371000     		dr = 1015.72852999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88203895-0.88280594) × cos(1.36148466) × R
    0.000766990000000023 × 0.207786639360619 × 6371000     		do = 1015.34801898735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88203895-0.88280594) × cos(1.36132523) × R
    0.000766990000000023 × 0.207942587027589 × 6371000     		du = 1016.11005621559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36148466)-sin(1.36132523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207786639360619-0.207942587027589)×R²
    abs(0.88280594-0.88203895)×0.000155947666969997×R²
    0.000766990000000023×0.000155947666969997×6371000²
    0.000766990000000023×0.000155947666969997×40589641000000     		ar = 1031704.96442539m²