Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5247 / 1153
↖ ↑ ↗
← N 78.052896°
E 50.581054°		 ← 1 011.55 m → N 78.052896°
E 50.625000°		 →
↑
1 011.97 m
↓
↑
1 011.97 m
↓
N 78.043795°
E 50.581054°		 ← 1 012.31 m →
1 024 038 m²		 N 78.043795°
E 50.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64056396484375 y=0.14080810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64056396484375 × 213)
    floor (0.64056396484375 × 8192)
    floor (5247.5)     		tx = 5247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14080810546875 × 213)
    floor (0.14080810546875 × 8192)
    floor (1153.5)     		ty = 1153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5247 / 1153 ti = "13/5247/1153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5247/1153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5247 ÷ 213
    5247 ÷ 8192     		x = 0.6405029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1153 ÷ 213
    1153 ÷ 8192     		y = 0.1407470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6405029296875 × 2 - 1) × π
    0.281005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.88280594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1407470703125 × 2 - 1) × π
    0.718505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2572527293092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88280594} λ = 0.88280594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2572527293092))-π/2
    2×atan(9.55679795783916)-π/2
    2×1.46653817235607-π/2
    2.93307634471214-1.57079632675     		φ = 1.36228002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88280594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.581054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36228002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.052896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5247 KachelY 1153 0.88280594 1.36228002 50.581054 78.052896
    Oben rechts KachelX + 1 5248 KachelY 1153 0.88357293 1.36228002 50.625000 78.052896
    Unten links KachelX 5247 KachelY + 1 1154 0.88280594 1.36212118 50.581054 78.043795
    Unten rechts KachelX + 1 5248 KachelY + 1 1154 0.88357293 1.36212118 50.625000 78.043795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36228002-1.36212118) × R
    0.000158840000000104 × 6371000     		dl = 1011.96964000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36228002-1.36212118) × R
    0.000158840000000104 × 6371000     		dr = 1011.96964000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88280594-0.88357293) × cos(1.36228002) × R
    0.000766990000000023 × 0.207008573109845 × 6371000     		do = 1011.54600347376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88280594-0.88357293) × cos(1.36212118) × R
    0.000766990000000023 × 0.207163969884959 × 6371000     		du = 1012.30534877264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36228002)-sin(1.36212118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207008573109845-0.207163969884959)×R²
    abs(0.88357293-0.88280594)×0.000155396775114142×R²
    0.000766990000000023×0.000155396775114142×6371000²
    0.000766990000000023×0.000155396775114142×40589641000000     		ar = 1024038.0643271m²