Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5248 / 1152
↖ ↑ ↗
← N 78.061989°
E 50.625000°		 ← 1 010.79 m → N 78.061989°
E 50.668945°		 →
↑
1 011.14 m
↓
↑
1 011.14 m
↓
N 78.052896°
E 50.625000°		 ← 1 011.55 m →
1 022 432 m²		 N 78.052896°
E 50.668945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64068603515625 y=0.14068603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64068603515625 × 213)
    floor (0.64068603515625 × 8192)
    floor (5248.5)     		tx = 5248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14068603515625 × 213)
    floor (0.14068603515625 × 8192)
    floor (1152.5)     		ty = 1152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5248 / 1152 ti = "13/5248/1152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5248/1152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5248 ÷ 213
    5248 ÷ 8192     		x = 0.640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1152 ÷ 213
    1152 ÷ 8192     		y = 0.140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640625 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140625 × 2 - 1) × π
    0.71875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25801971970313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88357293} λ = 0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25801971970313))-π/2
    2×atan(9.56413074179742)-π/2
    2×1.46661752937248-π/2
    2.93323505874497-1.57079632675     		φ = 1.36243873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36243873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.061989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5248 KachelY 1152 0.88357293 1.36243873 50.625000 78.061989
    Oben rechts KachelX + 1 5249 KachelY 1152 0.88433992 1.36243873 50.668945 78.061989
    Unten links KachelX 5248 KachelY + 1 1153 0.88357293 1.36228002 50.625000 78.052896
    Unten rechts KachelX + 1 5249 KachelY + 1 1153 0.88433992 1.36228002 50.668945 78.052896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36243873-1.36228002) × R
    0.000158710000000006 × 6371000     		dl = 1011.14141000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36243873-1.36228002) × R
    0.000158710000000006 × 6371000     		dr = 1011.14141000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88357293-0.88433992) × cos(1.36243873) × R
    0.000766989999999912 × 0.206853298300232 × 6371000     		do = 1010.78725415834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88357293-0.88433992) × cos(1.36228002) × R
    0.000766989999999912 × 0.207008573109845 × 6371000     		du = 1011.54600347362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36243873)-sin(1.36228002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206853298300232-0.207008573109845)×R²
    abs(0.88433992-0.88357293)×0.000155274809612499×R²
    0.000766989999999912×0.000155274809612499×6371000²
    0.000766989999999912×0.000155274809612499×40589641000000     		ar = 1022432.45295121m²