Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5248 / 3199
↖ ↑ ↗
← N 36.633162°
E 50.625000°		 ← 3 921.28 m → N 36.633162°
E 50.668945°		 →
↑
3 922.18 m
↓
↑
3 922.18 m
↓
N 36.597889°
E 50.625000°		 ← 3 923.07 m →
15 383 462 m²		 N 36.597889°
E 50.668945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64068603515625 y=0.39056396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64068603515625 × 213)
    floor (0.64068603515625 × 8192)
    floor (5248.5)     		tx = 5248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.39056396484375 × 213)
    floor (0.39056396484375 × 8192)
    floor (3199.5)     		ty = 3199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5248 / 3199 ti = "13/5248/3199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5248/3199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5248 ÷ 213
    5248 ÷ 8192     		x = 0.640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3199 ÷ 213
    3199 ÷ 8192     		y = 0.3905029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640625 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3905029296875 × 2 - 1) × π
    0.218994140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.687990383347046
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88357293} λ = 0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.687990383347046))-π/2
    2×atan(1.98971295247976)-π/2
    2×1.10508281038194-π/2
    2.21016562076389-1.57079632675     		φ = 0.63936929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.63936929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.633162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5248 KachelY 3199 0.88357293 0.63936929 50.625000 36.633162
    Oben rechts KachelX + 1 5249 KachelY 3199 0.88433992 0.63936929 50.668945 36.633162
    Unten links KachelX 5248 KachelY + 1 3200 0.88357293 0.63875366 50.625000 36.597889
    Unten rechts KachelX + 1 5249 KachelY + 1 3200 0.88433992 0.63875366 50.668945 36.597889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.63936929-0.63875366) × R
    0.000615629999999978 × 6371000     		dl = 3922.17872999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.63936929-0.63875366) × R
    0.000615629999999978 × 6371000     		dr = 3922.17872999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88357293-0.88433992) × cos(0.63936929) × R
    0.000766989999999912 × 0.802472255461265 × 6371000     		do = 3921.27529172219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88357293-0.88433992) × cos(0.63875366) × R
    0.000766989999999912 × 0.802839443284969 × 6371000     		du = 3923.06955255889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.63936929)-sin(0.63875366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.802472255461265-0.802839443284969)×R²
    abs(0.88433992-0.88357293)×0.000367187823704151×R²
    0.000766989999999912×0.000367187823704151×6371000²
    0.000766989999999912×0.000367187823704151×40589641000000     		ar = 15383461.7353735m²