Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5248 / 7296
↖ ↑ ↗
← S 80.178713°
E 50.625000°		 ← 833.52 m → S 80.178713°
E 50.668945°		 →
↑
833.20 m
↓
↑
833.20 m
↓
S 80.186207°
E 50.625000°		 ← 832.89 m →
694 223 m²		 S 80.186207°
E 50.668945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64068603515625 y=0.89068603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64068603515625 × 213)
    floor (0.64068603515625 × 8192)
    floor (5248.5)     		tx = 5248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89068603515625 × 213)
    floor (0.89068603515625 × 8192)
    floor (7296.5)     		ty = 7296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5248 / 7296 ti = "13/5248/7296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5248/7296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5248 ÷ 213
    5248 ÷ 8192     		x = 0.640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7296 ÷ 213
    7296 ÷ 8192     		y = 0.890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640625 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.890625 × 2 - 1) × π
    -0.78125 × 3.1415926535     		Φ = -2.45436926054687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88357293} λ = 0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.45436926054687))-π/2
    2×atan(0.0859173698292689)-π/2
    2×0.085706893142233-π/2
    0.171413786284466-1.57079632675     		φ = -1.39938254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39938254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.178713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5248 KachelY 7296 0.88357293 -1.39938254 50.625000 -80.178713
    Oben rechts KachelX + 1 5249 KachelY 7296 0.88433992 -1.39938254 50.668945 -80.178713
    Unten links KachelX 5248 KachelY + 1 7297 0.88357293 -1.39951332 50.625000 -80.186207
    Unten rechts KachelX + 1 5249 KachelY + 1 7297 0.88433992 -1.39951332 50.668945 -80.186207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39938254--1.39951332) × R
    0.000130780000000108 × 6371000     		dl = 833.199380000688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39938254--1.39951332) × R
    0.000130780000000108 × 6371000     		dr = 833.199380000688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88357293-0.88433992) × cos(-1.39938254) × R
    0.000766989999999912 × 0.170575586251288 × 6371000     		do = 833.516457654637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88357293-0.88433992) × cos(-1.39951332) × R
    0.000766989999999912 × 0.17044672142691 × 6371000     		du = 832.886760554998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39938254)-sin(-1.39951332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170575586251288-0.17044672142691)×R²
    abs(0.88433992-0.88357293)×0.000128864824377906×R²
    0.000766989999999912×0.000128864824377906×6371000²
    0.000766989999999912×0.000128864824377906×40589641000000     		ar = 694223.065111498m²