Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5248 / 897
↖ ↑ ↗
← N 80.171215°
E 50.625000°		 ← 834.15 m → N 80.171215°
E 50.668945°		 →
↑
834.47 m
↓
↑
834.47 m
↓
N 80.163710°
E 50.625000°		 ← 834.78 m →
696 336 m²		 N 80.163710°
E 50.668945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64068603515625 y=0.10955810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64068603515625 × 213)
    floor (0.64068603515625 × 8192)
    floor (5248.5)     		tx = 5248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10955810546875 × 213)
    floor (0.10955810546875 × 8192)
    floor (897.5)     		ty = 897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5248 / 897 ti = "13/5248/897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5248/897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5248 ÷ 213
    5248 ÷ 8192     		x = 0.640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 897 ÷ 213
    897 ÷ 8192     		y = 0.1094970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640625 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1094970703125 × 2 - 1) × π
    0.781005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.45360227015295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88357293} λ = 0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45360227015295))-π/2
    2×atan(11.630166352318)-π/2
    2×1.48502399401011-π/2
    2.97004798802022-1.57079632675     		φ = 1.39925166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39925166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.171215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5248 KachelY 897 0.88357293 1.39925166 50.625000 80.171215
    Oben rechts KachelX + 1 5249 KachelY 897 0.88433992 1.39925166 50.668945 80.171215
    Unten links KachelX 5248 KachelY + 1 898 0.88357293 1.39912068 50.625000 80.163710
    Unten rechts KachelX + 1 5249 KachelY + 1 898 0.88433992 1.39912068 50.668945 80.163710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39925166-1.39912068) × R
    0.000130980000000003 × 6371000     		dl = 834.473580000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39925166-1.39912068) × R
    0.000130980000000003 × 6371000     		dr = 834.473580000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88357293-0.88433992) × cos(1.39925166) × R
    0.000766989999999912 × 0.170704546690468 × 6371000     		do = 834.146621975369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88357293-0.88433992) × cos(1.39912068) × R
    0.000766989999999912 × 0.170833602735543 × 6371000     		du = 834.777253473661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39925166)-sin(1.39912068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170704546690468-0.170833602735543)×R²
    abs(0.88433992-0.88357293)×0.000129056045074821×R²
    0.000766989999999912×0.000129056045074821×6371000²
    0.000766989999999912×0.000129056045074821×40589641000000     		ar = 696336.441544724m²