Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5251 / 1151
↖ ↑ ↗
← N 78.071076°
E 50.756836°		 ← 1 010.04 m → N 78.071076°
E 50.800782°		 →
↑
1 010.44 m
↓
↑
1 010.44 m
↓
N 78.061989°
E 50.756836°		 ← 1 010.80 m →
1 020 971 m²		 N 78.061989°
E 50.800782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64105224609375 y=0.14056396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64105224609375 × 213)
    floor (0.64105224609375 × 8192)
    floor (5251.5)     		tx = 5251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14056396484375 × 213)
    floor (0.14056396484375 × 8192)
    floor (1151.5)     		ty = 1151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5251 / 1151 ti = "13/5251/1151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5251/1151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5251 ÷ 213
    5251 ÷ 8192     		x = 0.6409912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1151 ÷ 213
    1151 ÷ 8192     		y = 0.1405029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6409912109375 × 2 - 1) × π
    0.281982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.88587390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1405029296875 × 2 - 1) × π
    0.718994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25878671009705
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88587390} λ = 0.88587390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25878671009705))-π/2
    2×atan(9.57146915208793)-π/2
    2×1.46669682686158-π/2
    2.93339365372316-1.57079632675     		φ = 1.36259733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88587390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.756836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36259733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.071076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5251 KachelY 1151 0.88587390 1.36259733 50.756836 78.071076
    Oben rechts KachelX + 1 5252 KachelY 1151 0.88664090 1.36259733 50.800782 78.071076
    Unten links KachelX 5251 KachelY + 1 1152 0.88587390 1.36243873 50.756836 78.061989
    Unten rechts KachelX + 1 5252 KachelY + 1 1152 0.88664090 1.36243873 50.800782 78.061989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36259733-1.36243873) × R
    0.000158600000000009 × 6371000     		dl = 1010.44060000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36259733-1.36243873) × R
    0.000158600000000009 × 6371000     		dr = 1010.44060000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88587390-0.88664090) × cos(1.36259733) × R
    0.000766999999999962 × 0.206698125904746 × 6371000     		do = 1010.04217402667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88587390-0.88664090) × cos(1.36243873) × R
    0.000766999999999962 × 0.206853298300232 × 6371000     		du = 1010.80043278204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36259733)-sin(1.36243873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206698125904746-0.206853298300232)×R²
    abs(0.88664090-0.88587390)×0.000155172395486708×R²
    0.000766999999999962×0.000155172395486708×6371000²
    0.000766999999999962×0.000155172395486708×40589641000000     		ar = 1020970.71020498m²