Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5252 / 1164
↖ ↑ ↗
← N 77.952414°
E 50.800782°		 ← 1 019.93 m → N 77.952414°
E 50.844727°		 →
↑
1 020.32 m
↓
↑
1 020.32 m
↓
N 77.943238°
E 50.800782°		 ← 1 020.69 m →
1 041 039 m²		 N 77.943238°
E 50.844727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64117431640625 y=0.14215087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64117431640625 × 213)
    floor (0.64117431640625 × 8192)
    floor (5252.5)     		tx = 5252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14215087890625 × 213)
    floor (0.14215087890625 × 8192)
    floor (1164.5)     		ty = 1164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5252 / 1164 ti = "13/5252/1164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5252/1164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5252 ÷ 213
    5252 ÷ 8192     		x = 0.64111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1164 ÷ 213
    1164 ÷ 8192     		y = 0.14208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64111328125 × 2 - 1) × π
    0.2822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.88664090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14208984375 × 2 - 1) × π
    0.7158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24881583497607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88664090} λ = 0.88664090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24881583497607))-π/2
    2×atan(9.47650744087355)-π/2
    2×1.4656613041458-π/2
    2.9313226082916-1.57079632675     		φ = 1.36052628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88664090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.800782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36052628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.952414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5252 KachelY 1164 0.88664090 1.36052628 50.800782 77.952414
    Oben rechts KachelX + 1 5253 KachelY 1164 0.88740789 1.36052628 50.844727 77.952414
    Unten links KachelX 5252 KachelY + 1 1165 0.88664090 1.36036613 50.800782 77.943238
    Unten rechts KachelX + 1 5253 KachelY + 1 1165 0.88740789 1.36036613 50.844727 77.943238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36052628-1.36036613) × R
    0.000160149999999915 × 6371000     		dl = 1020.31564999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36052628-1.36036613) × R
    0.000160149999999915 × 6371000     		dr = 1020.31564999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88664090-0.88740789) × cos(1.36052628) × R
    0.000766990000000023 × 0.208724006355723 × 6371000     		do = 1019.92845651919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88664090-0.88740789) × cos(1.36036613) × R
    0.000766990000000023 × 0.208880626308184 × 6371000     		du = 1020.69377886597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36052628)-sin(1.36036613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208724006355723-0.208880626308184)×R²
    abs(0.88740789-0.88664090)×0.000156619952460829×R²
    0.000766990000000023×0.000156619952460829×6371000²
    0.000766990000000023×0.000156619952460829×40589641000000     		ar = 1041039.40347403m²