Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5256 / 1160
↖ ↑ ↗
← N 77.989049°
E 50.976563°		 ← 1 016.87 m → N 77.989049°
E 51.020508°		 →
↑
1 017.26 m
↓
↑
1 017.26 m
↓
N 77.979900°
E 50.976563°		 ← 1 017.64 m →
1 034 810 m²		 N 77.979900°
E 51.020508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64166259765625 y=0.14166259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64166259765625 × 213)
    floor (0.64166259765625 × 8192)
    floor (5256.5)     		tx = 5256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14166259765625 × 213)
    floor (0.14166259765625 × 8192)
    floor (1160.5)     		ty = 1160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5256 / 1160 ti = "13/5256/1160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5256/1160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5256 ÷ 213
    5256 ÷ 8192     		x = 0.6416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1160 ÷ 213
    1160 ÷ 8192     		y = 0.1416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6416015625 × 2 - 1) × π
    0.283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88970886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1416015625 × 2 - 1) × π
    0.716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25188379655176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88970886} λ = 0.88970886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25188379655176))-π/2
    2×atan(9.50562564550099)-π/2
    2×1.46598100288739-π/2
    2.93196200577478-1.57079632675     		φ = 1.36116568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88970886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.976563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36116568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.989049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5256 KachelY 1160 0.88970886 1.36116568 50.976563 77.989049
    Oben rechts KachelX + 1 5257 KachelY 1160 0.89047585 1.36116568 51.020508 77.989049
    Unten links KachelX 5256 KachelY + 1 1161 0.88970886 1.36100601 50.976563 77.979900
    Unten rechts KachelX + 1 5257 KachelY + 1 1161 0.89047585 1.36100601 51.020508 77.979900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36116568-1.36100601) × R
    0.000159669999999945 × 6371000     		dl = 1017.25756999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36116568-1.36100601) × R
    0.000159669999999945 × 6371000     		dr = 1017.25756999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88970886-0.89047585) × cos(1.36116568) × R
    0.000766989999999912 × 0.208098646782033 × 6371000     		do = 1016.87264115837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88970886-0.89047585) × cos(1.36100601) × R
    0.000766989999999912 × 0.20825481860803 × 6371000     		du = 1017.63577373819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36116568)-sin(1.36100601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208098646782033-0.20825481860803)×R²
    abs(0.89047585-0.88970886)×0.000156171825996393×R²
    0.000766989999999912×0.000156171825996393×6371000²
    0.000766989999999912×0.000156171825996393×40589641000000     		ar = 1034809.5453366m²