Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5257 / 1161
↖ ↑ ↗
← N 77.979900°
E 51.020508°		 ← 1 017.64 m → N 77.979900°
E 51.064453°		 →
↑
1 018.02 m
↓
↑
1 018.02 m
↓
N 77.970745°
E 51.020508°		 ← 1 018.40 m →
1 036 364 m²		 N 77.970745°
E 51.064453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64178466796875 y=0.14178466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64178466796875 × 213)
    floor (0.64178466796875 × 8192)
    floor (5257.5)     		tx = 5257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14178466796875 × 213)
    floor (0.14178466796875 × 8192)
    floor (1161.5)     		ty = 1161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5257 / 1161 ti = "13/5257/1161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5257/1161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5257 ÷ 213
    5257 ÷ 8192     		x = 0.6417236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1161 ÷ 213
    1161 ÷ 8192     		y = 0.1417236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6417236328125 × 2 - 1) × π
    0.283447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.89047585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1417236328125 × 2 - 1) × π
    0.716552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25111680615784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89047585} λ = 0.89047585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25111680615784))-π/2
    2×atan(9.49833771718546)-π/2
    2×1.46590116811356-π/2
    2.93180233622712-1.57079632675     		φ = 1.36100601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89047585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.020508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36100601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.979900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5257 KachelY 1161 0.89047585 1.36100601 51.020508 77.979900
    Oben rechts KachelX + 1 5258 KachelY 1161 0.89124284 1.36100601 51.064453 77.979900
    Unten links KachelX 5257 KachelY + 1 1162 0.89047585 1.36084622 51.020508 77.970745
    Unten rechts KachelX + 1 5258 KachelY + 1 1162 0.89124284 1.36084622 51.064453 77.970745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36100601-1.36084622) × R
    0.000159790000000104 × 6371000     		dl = 1018.02209000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36100601-1.36084622) × R
    0.000159790000000104 × 6371000     		dr = 1018.02209000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89047585-0.89124284) × cos(1.36100601) × R
    0.000766990000000023 × 0.20825481860803 × 6371000     		do = 1017.63577373833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89047585-0.89124284) × cos(1.36084622) × R
    0.000766990000000023 × 0.208411102489631 × 6371000     		du = 1018.39945387712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36100601)-sin(1.36084622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20825481860803-0.208411102489631)×R²
    abs(0.89124284-0.89047585)×0.000156283881601438×R²
    0.000766990000000023×0.000156283881601438×6371000²
    0.000766990000000023×0.000156283881601438×40589641000000     		ar = 1036364.42107161m²