Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5258 / 1162
↖ ↑ ↗
← N 77.970745°
E 51.064453°		 ← 1 018.40 m → N 77.970745°
E 51.108399°		 →
↑
1 018.79 m
↓
↑
1 018.79 m
↓
N 77.961583°
E 51.064453°		 ← 1 019.16 m →
1 037 921 m²		 N 77.961583°
E 51.108399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64190673828125 y=0.14190673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64190673828125 × 213)
    floor (0.64190673828125 × 8192)
    floor (5258.5)     		tx = 5258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14190673828125 × 213)
    floor (0.14190673828125 × 8192)
    floor (1162.5)     		ty = 1162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5258 / 1162 ti = "13/5258/1162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5258/1162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5258 ÷ 213
    5258 ÷ 8192     		x = 0.641845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1162 ÷ 213
    1162 ÷ 8192     		y = 0.141845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.641845703125 × 2 - 1) × π
    0.28369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.89124284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141845703125 × 2 - 1) × π
    0.71630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25034981576392
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89124284} λ = 0.89124284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25034981576392))-π/2
    2×atan(9.49105537649784)-π/2
    2×1.4658212734273-π/2
    2.9316425468546-1.57079632675     		φ = 1.36084622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89124284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.064453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36084622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.970745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5258 KachelY 1162 0.89124284 1.36084622 51.064453 77.970745
    Oben rechts KachelX + 1 5259 KachelY 1162 0.89200983 1.36084622 51.108399 77.970745
    Unten links KachelX 5258 KachelY + 1 1163 0.89124284 1.36068631 51.064453 77.961583
    Unten rechts KachelX + 1 5259 KachelY + 1 1163 0.89200983 1.36068631 51.108399 77.961583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36084622-1.36068631) × R
    0.000159910000000041 × 6371000     		dl = 1018.78661000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36084622-1.36068631) × R
    0.000159910000000041 × 6371000     		dr = 1018.78661000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89124284-0.89200983) × cos(1.36084622) × R
    0.000766990000000023 × 0.208411102489631 × 6371000     		do = 1018.39945387712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89124284-0.89200983) × cos(1.36068631) × R
    0.000766990000000023 × 0.208567498410863 × 6371000     		du = 1019.1636814968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36084622)-sin(1.36068631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208411102489631-0.208567498410863)×R²
    abs(0.89200983-0.89124284)×0.000156395921231678×R²
    0.000766990000000023×0.000156395921231678×6371000²
    0.000766990000000023×0.000156395921231678×40589641000000     		ar = 1037921.02188819m²