Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5260 / 1148
↖ ↑ ↗
← N 78.098296°
E 51.152344°		 ← 1 007.76 m → N 78.098296°
E 51.196289°		 →
↑
1 008.15 m
↓
↑
1 008.15 m
↓
N 78.089229°
E 51.152344°		 ← 1 008.51 m →
1 016 349 m²		 N 78.089229°
E 51.196289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64215087890625 y=0.14019775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64215087890625 × 213)
    floor (0.64215087890625 × 8192)
    floor (5260.5)     		tx = 5260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14019775390625 × 213)
    floor (0.14019775390625 × 8192)
    floor (1148.5)     		ty = 1148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5260 / 1148 ti = "13/5260/1148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5260/1148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5260 ÷ 213
    5260 ÷ 8192     		x = 0.64208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1148 ÷ 213
    1148 ÷ 8192     		y = 0.14013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64208984375 × 2 - 1) × π
    0.2841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.89277682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14013671875 × 2 - 1) × π
    0.7197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26108768127881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89277682} λ = 0.89277682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26108768127881))-π/2
    2×atan(9.59351818413953)-π/2
    2×1.46693436259142-π/2
    2.93386872518284-1.57079632675     		φ = 1.36307240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89277682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.152344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36307240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.098296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5260 KachelY 1148 0.89277682 1.36307240 51.152344 78.098296
    Oben rechts KachelX + 1 5261 KachelY 1148 0.89354381 1.36307240 51.196289 78.098296
    Unten links KachelX 5260 KachelY + 1 1149 0.89277682 1.36291416 51.152344 78.089229
    Unten rechts KachelX + 1 5261 KachelY + 1 1149 0.89354381 1.36291416 51.196289 78.089229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36307240-1.36291416) × R
    0.000158239999999976 × 6371000     		dl = 1008.14703999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36307240-1.36291416) × R
    0.000158239999999976 × 6371000     		dr = 1008.14703999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89277682-0.89354381) × cos(1.36307240) × R
    0.000766990000000023 × 0.206233291845377 × 6371000     		do = 1007.75759677708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89277682-0.89354381) × cos(1.36291416) × R
    0.000766990000000023 × 0.206388127553836 × 6371000     		du = 1008.51420042751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36307240)-sin(1.36291416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206233291845377-0.206388127553836)×R²
    abs(0.89354381-0.89277682)×0.000154835708459256×R²
    0.000766990000000023×0.000154835708459256×6371000²
    0.000766990000000023×0.000154835708459256×40589641000000     		ar = 1016349.22421626m²