Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5264 / 3216
↖ ↑ ↗
← N 36.031332°
E 51.328125°		 ← 3 951.68 m → N 36.031332°
E 51.372070°		 →
↑
3 952.57 m
↓
↑
3 952.57 m
↓
N 35.995785°
E 51.328125°		 ← 3 953.47 m →
15 622 828 m²		 N 35.995785°
E 51.372070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64263916015625 y=0.39263916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64263916015625 × 213)
    floor (0.64263916015625 × 8192)
    floor (5264.5)     		tx = 5264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.39263916015625 × 213)
    floor (0.39263916015625 × 8192)
    floor (3216.5)     		ty = 3216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5264 / 3216 ti = "13/5264/3216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5264/3216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5264 ÷ 213
    5264 ÷ 8192     		x = 0.642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3216 ÷ 213
    3216 ÷ 8192     		y = 0.392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.642578125 × 2 - 1) × π
    0.28515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.89584478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.392578125 × 2 - 1) × π
    0.21484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.674951546650391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89584478} λ = 0.89584478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.674951546650391))-π/2
    2×atan(1.96393781429889)-π/2
    2×1.09983085007737-π/2
    2.19966170015474-1.57079632675     		φ = 0.62886537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89584478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.62886537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.031332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5264 KachelY 3216 0.89584478 0.62886537 51.328125 36.031332
    Oben rechts KachelX + 1 5265 KachelY 3216 0.89661177 0.62886537 51.372070 36.031332
    Unten links KachelX 5264 KachelY + 1 3217 0.89584478 0.62824497 51.328125 35.995785
    Unten rechts KachelX + 1 5265 KachelY + 1 3217 0.89661177 0.62824497 51.372070 35.995785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.62886537-0.62824497) × R
    0.000620399999999965 × 6371000     		dl = 3952.56839999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.62886537-0.62824497) × R
    0.000620399999999965 × 6371000     		dr = 3952.56839999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89584478-0.89661177) × cos(0.62886537) × R
    0.000766990000000023 × 0.808695449364141 × 6371000     		do = 3951.68488697153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89584478-0.89661177) × cos(0.62824497) × R
    0.000766990000000023 × 0.809060230091205 × 6371000     		du = 3953.46738554664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.62886537)-sin(0.62824497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.808695449364141-0.809060230091205)×R²
    abs(0.89661177-0.89584478)×0.000364780727063252×R²
    0.000766990000000023×0.000364780727063252×6371000²
    0.000766990000000023×0.000364780727063252×40589641000000     		ar = 15622828.0358654m²