Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5266 / 1170
↖ ↑ ↗
← N 77.897255°
E 51.416016°		 ← 1 024.53 m → N 77.897255°
E 51.459961°		 →
↑
1 024.90 m
↓
↑
1 024.90 m
↓
N 77.888038°
E 51.416016°		 ← 1 025.30 m →
1 050 436 m²		 N 77.888038°
E 51.459961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64288330078125 y=0.14288330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64288330078125 × 213)
    floor (0.64288330078125 × 8192)
    floor (5266.5)     		tx = 5266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14288330078125 × 213)
    floor (0.14288330078125 × 8192)
    floor (1170.5)     		ty = 1170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5266 / 1170 ti = "13/5266/1170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5266/1170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5266 ÷ 213
    5266 ÷ 8192     		x = 0.642822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1170 ÷ 213
    1170 ÷ 8192     		y = 0.142822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.642822265625 × 2 - 1) × π
    0.28564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.89737876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142822265625 × 2 - 1) × π
    0.71435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24421389261255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89737876} λ = 0.89737876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24421389261255))-π/2
    2×atan(9.432997292209)-π/2
    2×1.46517995393398-π/2
    2.93035990786796-1.57079632675     		φ = 1.35956358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89737876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.416016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35956358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.897255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5266 KachelY 1170 0.89737876 1.35956358 51.416016 77.897255
    Oben rechts KachelX + 1 5267 KachelY 1170 0.89814575 1.35956358 51.459961 77.897255
    Unten links KachelX 5266 KachelY + 1 1171 0.89737876 1.35940271 51.416016 77.888038
    Unten rechts KachelX + 1 5267 KachelY + 1 1171 0.89814575 1.35940271 51.459961 77.888038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35956358-1.35940271) × R
    0.000160870000000202 × 6371000     		dl = 1024.90277000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35956358-1.35940271) × R
    0.000160870000000202 × 6371000     		dr = 1024.90277000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89737876-0.89814575) × cos(1.35956358) × R
    0.000766989999999912 × 0.209665405621616 × 6371000     		do = 1024.52859771504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89737876-0.89814575) × cos(1.35940271) × R
    0.000766989999999912 × 0.209822697281575 × 6371000     		du = 1025.297202356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35956358)-sin(1.35940271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209665405621616-0.209822697281575)×R²
    abs(0.89814575-0.89737876)×0.000157291659958286×R²
    0.000766989999999912×0.000157291659958286×6371000²
    0.000766989999999912×0.000157291659958286×40589641000000     		ar = 1050436.07252249m²