Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5272 / 1144
↖ ↑ ↗
← N 78.134493°
E 51.679687°		 ← 1 004.74 m → N 78.134493°
E 51.723633°		 →
↑
1 005.15 m
↓
↑
1 005.15 m
↓
N 78.125454°
E 51.679687°		 ← 1 005.49 m →
1 010 293 m²		 N 78.125454°
E 51.723633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64361572265625 y=0.13970947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64361572265625 × 213)
    floor (0.64361572265625 × 8192)
    floor (5272.5)     		tx = 5272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13970947265625 × 213)
    floor (0.13970947265625 × 8192)
    floor (1144.5)     		ty = 1144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5272 / 1144 ti = "13/5272/1144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5272/1144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5272 ÷ 213
    5272 ÷ 8192     		x = 0.6435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1144 ÷ 213
    1144 ÷ 8192     		y = 0.1396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6435546875 × 2 - 1) × π
    0.287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90198070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1396484375 × 2 - 1) × π
    0.720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26415564285449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90198070} λ = 0.90198070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26415564285449))-π/2
    2×atan(9.6229959244701)-π/2
    2×1.46725024610046-π/2
    2.93450049220092-1.57079632675     		φ = 1.36370417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90198070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.679687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36370417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.134493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5272 KachelY 1144 0.90198070 1.36370417 51.679687 78.134493
    Oben rechts KachelX + 1 5273 KachelY 1144 0.90274769 1.36370417 51.723633 78.134493
    Unten links KachelX 5272 KachelY + 1 1145 0.90198070 1.36354640 51.679687 78.125454
    Unten rechts KachelX + 1 5273 KachelY + 1 1145 0.90274769 1.36354640 51.723633 78.125454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36370417-1.36354640) × R
    0.000157770000000168 × 6371000     		dl = 1005.15267000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36370417-1.36354640) × R
    0.000157770000000168 × 6371000     		dr = 1005.15267000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90198070-0.90274769) × cos(1.36370417) × R
    0.000766990000000023 × 0.205615061983061 × 6371000     		do = 1004.73662070319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90198070-0.90274769) × cos(1.36354640) × R
    0.000766990000000023 × 0.205769458343555 × 6371000     		du = 1005.49107748275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36370417)-sin(1.36354640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205615061983061-0.205769458343555)×R²
    abs(0.90274769-0.90198070)×0.00015439636049458×R²
    0.000766990000000023×0.00015439636049458×6371000²
    0.000766990000000023×0.00015439636049458×40589641000000     		ar = 1010292.87116684m²