Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 53 / 93
↖ ↑ ↗
← S 62.915233°
W 30.937500°		 ← 142.391 km → S 62.915233°
W 28.125000°		 →
↑
139.313 km
↓
↑
139.313 km
↓
S 64.168107°
W 30.937500°		 ← 136.269 km →
19 411.3 km²		 S 64.168107°
W 28.125000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41796875 y=0.73046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41796875 × 27)
    floor (0.41796875 × 128)
    floor (53.5)     		tx = 53
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73046875 × 27)
    floor (0.73046875 × 128)
    floor (93.5)     		ty = 93
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 53 / 93 ti = "7/53/93"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/53/93.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53 ÷ 27
    53 ÷ 128     		x = 0.4140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93 ÷ 27
    93 ÷ 128     		y = 0.7265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4140625 × 2 - 1) × π
    -0.171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53996124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7265625 × 2 - 1) × π
    -0.453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42353417111719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53996124} λ = -0.53996124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42353417111719))-π/2
    2×atan(0.240861265971343)-π/2
    2×0.236359180307522-π/2
    0.472718360615044-1.57079632675     		φ = -1.09807797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53996124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.937500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09807797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.915233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53 KachelY 93 -0.53996124 -1.09807797 -30.937500 -62.915233
    Oben rechts KachelX + 1 54 KachelY 93 -0.49087385 -1.09807797 -28.125000 -62.915233
    Unten links KachelX 53 KachelY + 1 94 -0.53996124 -1.11994474 -30.937500 -64.168107
    Unten rechts KachelX + 1 54 KachelY + 1 94 -0.49087385 -1.11994474 -28.125000 -64.168107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09807797--1.11994474) × R
    0.0218667699999999 × 6371000     		dl = 139313.19167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09807797--1.11994474) × R
    0.0218667699999999 × 6371000     		dr = 139313.19167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53996124--0.49087385) × cos(-1.09807797) × R
    0.04908739 × 0.455308209816203 × 6371000     		do = 142391.159800581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53996124--0.49087385) × cos(-1.11994474) × R
    0.04908739 × 0.435732185161907 × 6371000     		du = 136269.036819457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09807797)-sin(-1.11994474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455308209816203-0.435732185161907)×R²
    abs(-0.49087385--0.53996124)×0.0195760246542965×R²
    0.04908739×0.0195760246542965×6371000²
    0.04908739×0.0195760246542965×40589641000000     		ar = 19411294165.7273m²