Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5311 / 1217
↖ ↑ ↗
← N 77.456488°
E 53.393555°		 ← 1 061.25 m → N 77.456488°
E 53.437500°		 →
↑
1 061.66 m
↓
↑
1 061.66 m
↓
N 77.446940°
E 53.393555°		 ← 1 062.05 m →
1 127 116 m²		 N 77.446940°
E 53.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64837646484375 y=0.14862060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64837646484375 × 213)
    floor (0.64837646484375 × 8192)
    floor (5311.5)     		tx = 5311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14862060546875 × 213)
    floor (0.14862060546875 × 8192)
    floor (1217.5)     		ty = 1217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5311 / 1217 ti = "13/5311/1217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5311/1217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5311 ÷ 213
    5311 ÷ 8192     		x = 0.6483154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1217 ÷ 213
    1217 ÷ 8192     		y = 0.1485595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6483154296875 × 2 - 1) × π
    0.296630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.93189333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1485595703125 × 2 - 1) × π
    0.702880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.20816534409827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93189333} λ = 0.93189333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20816534409827))-π/2
    2×atan(9.09900752236217)-π/2
    2×1.46133353438184-π/2
    2.92266706876367-1.57079632675     		φ = 1.35187074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93189333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.393555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35187074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.456488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5311 KachelY 1217 0.93189333 1.35187074 53.393555 77.456488
    Oben rechts KachelX + 1 5312 KachelY 1217 0.93266032 1.35187074 53.437500 77.456488
    Unten links KachelX 5311 KachelY + 1 1218 0.93189333 1.35170410 53.393555 77.446940
    Unten rechts KachelX + 1 5312 KachelY + 1 1218 0.93266032 1.35170410 53.437500 77.446940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35187074-1.35170410) × R
    0.000166639999999996 × 6371000     		dl = 1061.66343999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35187074-1.35170410) × R
    0.000166639999999996 × 6371000     		dr = 1061.66343999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93189333-0.93266032) × cos(1.35187074) × R
    0.000766990000000023 × 0.217180980218041 × 6371000     		do = 1061.25340255111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93189333-0.93266032) × cos(1.35170410) × R
    0.000766990000000023 × 0.217343639730815 × 6371000     		du = 1062.04823716884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35187074)-sin(1.35170410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217180980218041-0.217343639730815)×R²
    abs(0.93266032-0.93189333)×0.000162659512774388×R²
    0.000766990000000023×0.000162659512774388×6371000²
    0.000766990000000023×0.000162659512774388×40589641000000     		ar = 1127115.8641007m²