Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5312 / 1215
↖ ↑ ↗
← N 77.475562°
E 53.437500°		 ← 1 059.67 m → N 77.475562°
E 53.481445°		 →
↑
1 060.01 m
↓
↑
1 060.01 m
↓
N 77.466029°
E 53.437500°		 ← 1 060.46 m →
1 123 673 m²		 N 77.466029°
E 53.481445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64849853515625 y=0.14837646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64849853515625 × 213)
    floor (0.64849853515625 × 8192)
    floor (5312.5)     		tx = 5312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14837646484375 × 213)
    floor (0.14837646484375 × 8192)
    floor (1215.5)     		ty = 1215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5312 / 1215 ti = "13/5312/1215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5312/1215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5312 ÷ 213
    5312 ÷ 8192     		x = 0.6484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1215 ÷ 213
    1215 ÷ 8192     		y = 0.1483154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6484375 × 2 - 1) × π
    0.296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.93266032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1483154296875 × 2 - 1) × π
    0.703369140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20969932488611
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93266032} λ = 0.93266032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20969932488611))-π/2
    2×atan(9.11297593598989)-π/2
    2×1.46149998545261-π/2
    2.92299997090521-1.57079632675     		φ = 1.35220364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93266032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35220364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.475562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5312 KachelY 1215 0.93266032 1.35220364 53.437500 77.475562
    Oben rechts KachelX + 1 5313 KachelY 1215 0.93342731 1.35220364 53.481445 77.475562
    Unten links KachelX 5312 KachelY + 1 1216 0.93266032 1.35203726 53.437500 77.466029
    Unten rechts KachelX + 1 5313 KachelY + 1 1216 0.93342731 1.35203726 53.481445 77.466029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35220364-1.35203726) × R
    0.000166380000000022 × 6371000     		dl = 1060.00698000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35220364-1.35203726) × R
    0.000166380000000022 × 6371000     		dr = 1060.00698000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93266032-0.93342731) × cos(1.35220364) × R
    0.000766990000000023 × 0.216856014061769 × 6371000     		do = 1059.66545760901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93266032-0.93342731) × cos(1.35203726) × R
    0.000766990000000023 × 0.217018431814494 × 6371000     		du = 1060.45911086788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35220364)-sin(1.35203726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216856014061769-0.217018431814494)×R²
    abs(0.93342731-0.93266032)×0.000162417752725214×R²
    0.000766990000000023×0.000162417752725214×6371000²
    0.000766990000000023×0.000162417752725214×40589641000000     		ar = 1123673.4231207m²