Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5312 / 3264
↖ ↑ ↗
← N 34.307144°
E 53.437500°		 ← 4 036.38 m → N 34.307144°
E 53.481445°		 →
↑
4 037.30 m
↓
↑
4 037.30 m
↓
N 34.270836°
E 53.437500°		 ← 4 038.12 m →
16 299 612 m²		 N 34.270836°
E 53.481445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64849853515625 y=0.39849853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64849853515625 × 213)
    floor (0.64849853515625 × 8192)
    floor (5312.5)     		tx = 5312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.39849853515625 × 213)
    floor (0.39849853515625 × 8192)
    floor (3264.5)     		ty = 3264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5312 / 3264 ti = "13/5312/3264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5312/3264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5312 ÷ 213
    5312 ÷ 8192     		x = 0.6484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3264 ÷ 213
    3264 ÷ 8192     		y = 0.3984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6484375 × 2 - 1) × π
    0.296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.93266032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3984375 × 2 - 1) × π
    0.203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.638136007742187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93266032} λ = 0.93266032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.638136007742187))-π/2
    2×atan(1.89294914621298)-π/2
    2×1.0847844720137-π/2
    2.1695689440274-1.57079632675     		φ = 0.59877262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93266032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59877262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.307144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5312 KachelY 3264 0.93266032 0.59877262 53.437500 34.307144
    Oben rechts KachelX + 1 5313 KachelY 3264 0.93342731 0.59877262 53.481445 34.307144
    Unten links KachelX 5312 KachelY + 1 3265 0.93266032 0.59813892 53.437500 34.270836
    Unten rechts KachelX + 1 5313 KachelY + 1 3265 0.93342731 0.59813892 53.481445 34.270836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59877262-0.59813892) × R
    0.000633699999999959 × 6371000     		dl = 4037.30269999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59877262-0.59813892) × R
    0.000633699999999959 × 6371000     		dr = 4037.30269999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93266032-0.93342731) × cos(0.59877262) × R
    0.000766990000000023 × 0.826028023946516 × 6371000     		do = 4036.38039636673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93266032-0.93342731) × cos(0.59813892) × R
    0.000766990000000023 × 0.826385029793894 × 6371000     		du = 4038.12490304443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59877262)-sin(0.59813892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826028023946516-0.826385029793894)×R²
    abs(0.93342731-0.93266032)×0.000357005847377967×R²
    0.000766990000000023×0.000357005847377967×6371000²
    0.000766990000000023×0.000357005847377967×40589641000000     		ar = 16299611.5686974m²