Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5313 / 1216
↖ ↑ ↗
← N 77.466029°
E 53.481445°		 ← 1 060.46 m → N 77.466029°
E 53.525391°		 →
↑
1 060.90 m
↓
↑
1 060.90 m
↓
N 77.456488°
E 53.481445°		 ← 1 061.25 m →
1 125 461 m²		 N 77.456488°
E 53.525391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64862060546875 y=0.14849853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64862060546875 × 213)
    floor (0.64862060546875 × 8192)
    floor (5313.5)     		tx = 5313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14849853515625 × 213)
    floor (0.14849853515625 × 8192)
    floor (1216.5)     		ty = 1216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5313 / 1216 ti = "13/5313/1216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5313/1216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5313 ÷ 213
    5313 ÷ 8192     		x = 0.6485595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1216 ÷ 213
    1216 ÷ 8192     		y = 0.1484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6485595703125 × 2 - 1) × π
    0.297119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.93342731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1484375 × 2 - 1) × π
    0.703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20893233449219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93342731} λ = 0.93342731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20893233449219))-π/2
    2×atan(9.10598905076639)-π/2
    2×1.46141679107316-π/2
    2.92283358214632-1.57079632675     		φ = 1.35203726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93342731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.481445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35203726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.466029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5313 KachelY 1216 0.93342731 1.35203726 53.481445 77.466029
    Oben rechts KachelX + 1 5314 KachelY 1216 0.93419430 1.35203726 53.525391 77.466029
    Unten links KachelX 5313 KachelY + 1 1217 0.93342731 1.35187074 53.481445 77.456488
    Unten rechts KachelX + 1 5314 KachelY + 1 1217 0.93419430 1.35187074 53.525391 77.456488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35203726-1.35187074) × R
    0.000166519999999837 × 6371000     		dl = 1060.89891999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35203726-1.35187074) × R
    0.000166519999999837 × 6371000     		dr = 1060.89891999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93342731-0.93419430) × cos(1.35203726) × R
    0.000766990000000023 × 0.217018431814494 × 6371000     		do = 1060.45911086788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93342731-0.93419430) × cos(1.35187074) × R
    0.000766990000000023 × 0.217180980218041 × 6371000     		du = 1061.25340255111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35203726)-sin(1.35187074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217018431814494-0.217180980218041)×R²
    abs(0.93419430-0.93342731)×0.00016254840354657×R²
    0.000766990000000023×0.00016254840354657×6371000²
    0.000766990000000023×0.00016254840354657×40589641000000     		ar = 1125461.25961681m²