Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5316 / 1220
↖ ↑ ↗
← N 77.427823°
E 53.613281°		 ← 1 063.64 m → N 77.427823°
E 53.657227°		 →
↑
1 064.02 m
↓
↑
1 064.02 m
↓
N 77.418254°
E 53.613281°		 ← 1 064.44 m →
1 132 158 m²		 N 77.418254°
E 53.657227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64898681640625 y=0.14898681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64898681640625 × 213)
    floor (0.64898681640625 × 8192)
    floor (5316.5)     		tx = 5316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14898681640625 × 213)
    floor (0.14898681640625 × 8192)
    floor (1220.5)     		ty = 1220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5316 / 1220 ti = "13/5316/1220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5316/1220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5316 ÷ 213
    5316 ÷ 8192     		x = 0.64892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1220 ÷ 213
    1220 ÷ 8192     		y = 0.14892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64892578125 × 2 - 1) × π
    0.2978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.93572828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14892578125 × 2 - 1) × π
    0.7021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2058643729165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93572828} λ = 0.93572828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2058643729165))-π/2
    2×atan(9.07809503701035)-π/2
    2×1.46108338999285-π/2
    2.92216677998571-1.57079632675     		φ = 1.35137045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93572828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.613281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35137045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.427823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5316 KachelY 1220 0.93572828 1.35137045 53.613281 77.427823
    Oben rechts KachelX + 1 5317 KachelY 1220 0.93649527 1.35137045 53.657227 77.427823
    Unten links KachelX 5316 KachelY + 1 1221 0.93572828 1.35120344 53.613281 77.418254
    Unten rechts KachelX + 1 5317 KachelY + 1 1221 0.93649527 1.35120344 53.657227 77.418254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35137045-1.35120344) × R
    0.000167009999999967 × 6371000     		dl = 1064.02070999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35137045-1.35120344) × R
    0.000167009999999967 × 6371000     		dr = 1064.02070999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93572828-0.93649527) × cos(1.35137045) × R
    0.000766990000000023 × 0.217669301774042 × 6371000     		do = 1063.63958255787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93572828-0.93649527) × cos(1.35120344) × R
    0.000766990000000023 × 0.21783230426858 × 6371000     		du = 1064.43609315368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35137045)-sin(1.35120344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217669301774042-0.21783230426858)×R²
    abs(0.93649527-0.93572828)×0.000163002494537628×R²
    0.000766990000000023×0.000163002494537628×6371000²
    0.000766990000000023×0.000163002494537628×40589641000000     		ar = 1132158.29833449m²