Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 532 / 564
↖ ↑ ↗
← S 17.978733°
E  7.031250°		 ← 37.183 km → S 17.978733°
E  7.382813°		 →
↑
37.148 km
↓
↑
37.148 km
↓
S 18.312811°
E  7.031250°		 ← 37.112 km →
1 379.96 km²		 S 18.312811°
E  7.382813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52001953125 y=0.55126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52001953125 × 210)
    floor (0.52001953125 × 1024)
    floor (532.5)     		tx = 532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55126953125 × 210)
    floor (0.55126953125 × 1024)
    floor (564.5)     		ty = 564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 532 / 564 ti = "10/532/564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/532/564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 532 ÷ 210
    532 ÷ 1024     		x = 0.51953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 564 ÷ 210
    564 ÷ 1024     		y = 0.55078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51953125 × 2 - 1) × π
    0.0390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12271846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55078125 × 2 - 1) × π
    -0.1015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.319068003871094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12271846} λ = 0.12271846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.319068003871094))-π/2
    2×atan(0.726826120635872)-π/2
    2×0.628504119474422-π/2
    1.25700823894884-1.57079632675     		φ = -0.31378809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12271846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31378809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.978733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 532 KachelY 564 0.12271846 -0.31378809 7.031250 -17.978733
    Oben rechts KachelX + 1 533 KachelY 564 0.12885439 -0.31378809 7.382813 -17.978733
    Unten links KachelX 532 KachelY + 1 565 0.12271846 -0.31961884 7.031250 -18.312811
    Unten rechts KachelX + 1 533 KachelY + 1 565 0.12885439 -0.31961884 7.382813 -18.312811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31378809--0.31961884) × R
    0.00583075 × 6371000     		dl = 37147.70825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31378809--0.31961884) × R
    0.00583075 × 6371000     		dr = 37147.70825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12271846-0.12885439) × cos(-0.31378809) × R
    0.00613593000000001 × 0.951171150272265 × 6371000     		do = 37183.1921466901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12271846-0.12885439) × cos(-0.31961884) × R
    0.00613593000000001 × 0.949355249315924 × 6371000     		du = 37112.2049282913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31378809)-sin(-0.31961884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951171150272265-0.949355249315924)×R²
    abs(0.12885439-0.12271846)×0.00181590095634077×R²
    0.00613593000000001×0.00181590095634077×6371000²
    0.00613593000000001×0.00181590095634077×40589641000000     		ar = 1379955777.03582m²