Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5320 / 1224
↖ ↑ ↗
← N 77.389504°
E 53.789062°		 ← 1 066.83 m → N 77.389504°
E 53.833008°		 →
↑
1 067.21 m
↓
↑
1 067.21 m
↓
N 77.379906°
E 53.789062°		 ← 1 067.63 m →
1 138 953 m²		 N 77.379906°
E 53.833008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64947509765625 y=0.14947509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64947509765625 × 213)
    floor (0.64947509765625 × 8192)
    floor (5320.5)     		tx = 5320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14947509765625 × 213)
    floor (0.14947509765625 × 8192)
    floor (1224.5)     		ty = 1224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5320 / 1224 ti = "13/5320/1224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5320/1224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5320 ÷ 213
    5320 ÷ 8192     		x = 0.6494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1224 ÷ 213
    1224 ÷ 8192     		y = 0.1494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6494140625 × 2 - 1) × π
    0.298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.93879624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1494140625 × 2 - 1) × π
    0.701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.20279641134082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93879624} λ = 0.93879624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20279641134082))-π/2
    2×atan(9.0502864698762)-π/2
    2×1.46074898908034-π/2
    2.92149797816067-1.57079632675     		φ = 1.35070165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93879624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.789062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35070165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.389504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5320 KachelY 1224 0.93879624 1.35070165 53.789062 77.389504
    Oben rechts KachelX + 1 5321 KachelY 1224 0.93956323 1.35070165 53.833008 77.389504
    Unten links KachelX 5320 KachelY + 1 1225 0.93879624 1.35053414 53.789062 77.379906
    Unten rechts KachelX + 1 5321 KachelY + 1 1225 0.93956323 1.35053414 53.833008 77.379906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35070165-1.35053414) × R
    0.000167510000000037 × 6371000     		dl = 1067.20621000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35070165-1.35053414) × R
    0.000167510000000037 × 6371000     		dr = 1067.20621000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93879624-0.93956323) × cos(1.35070165) × R
    0.000766990000000023 × 0.21832201694531 × 6371000     		do = 1066.82907086255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93879624-0.93956323) × cos(1.35053414) × R
    0.000766990000000023 × 0.218485483001565 × 6371000     		du = 1067.62784664959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35070165)-sin(1.35053414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21832201694531-0.218485483001565)×R²
    abs(0.93956323-0.93879624)×0.000163466056254807×R²
    0.000766990000000023×0.000163466056254807×6371000²
    0.000766990000000023×0.000163466056254807×40589641000000     		ar = 1138952.84133516m²