Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53216 / 85984
↖ ↑ ↗
← S 48.864715°
W 33.837890°		 ← 200.88 m → S 48.864715°
W 33.835144°		 →
↑
200.88 m
↓
↑
200.88 m
↓
S 48.866521°
W 33.837890°		 ← 200.87 m →
40 351 m²		 S 48.866521°
W 33.835144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406009674072266 y=0.656009674072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406009674072266 × 217)
    floor (0.406009674072266 × 131072)
    floor (53216.5)     		tx = 53216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656009674072266 × 217)
    floor (0.656009674072266 × 131072)
    floor (85984.5)     		ty = 85984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53216 / 85984 ti = "17/53216/85984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53216/85984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53216 ÷ 217
    53216 ÷ 131072     		x = 0.406005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85984 ÷ 217
    85984 ÷ 131072     		y = 0.656005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406005859375 × 2 - 1) × π
    -0.18798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59058260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656005859375 × 2 - 1) × π
    -0.31201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.980213723430908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59058260} λ = -0.59058260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.980213723430908))-π/2
    2×atan(0.375230894646759)-π/2
    2×0.358973083085996-π/2
    0.717946166171992-1.57079632675     		φ = -0.85285016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59058260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.837890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85285016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.864715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53216 KachelY 85984 -0.59058260 -0.85285016 -33.837890 -48.864715
    Oben rechts KachelX + 1 53217 KachelY 85984 -0.59053467 -0.85285016 -33.835144 -48.864715
    Unten links KachelX 53216 KachelY + 1 85985 -0.59058260 -0.85288169 -33.837890 -48.866521
    Unten rechts KachelX + 1 53217 KachelY + 1 85985 -0.59053467 -0.85288169 -33.835144 -48.866521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85285016--0.85288169) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dl = 200.877630000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85285016--0.85288169) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dr = 200.877630000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59058260--0.59053467) × cos(-0.85285016) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.657839198768838 × 6371000     		do = 200.879113149284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59058260--0.59053467) × cos(-0.85288169) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.657815451357224 × 6371000     		du = 200.871861591466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85285016)-sin(-0.85288169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657839198768838-0.657815451357224)×R²
    abs(-0.59053467--0.59058260)×2.37474116141501e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.37474116141501e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.37474116141501e-05×40589641000000     		ar = 40351.3918313981m²