Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53244 / 86028
↖ ↑ ↗
← S 48.944151°
W 33.760986°		 ← 200.60 m → S 48.944151°
W 33.758240°		 →
↑
200.56 m
↓
↑
200.56 m
↓
S 48.945955°
W 33.760986°		 ← 200.59 m →
40 232 m²		 S 48.945955°
W 33.758240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406223297119141 y=0.656345367431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406223297119141 × 217)
    floor (0.406223297119141 × 131072)
    floor (53244.5)     		tx = 53244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656345367431641 × 217)
    floor (0.656345367431641 × 131072)
    floor (86028.5)     		ty = 86028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53244 / 86028 ti = "17/53244/86028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53244/86028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53244 ÷ 217
    53244 ÷ 131072     		x = 0.406219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86028 ÷ 217
    86028 ÷ 131072     		y = 0.656341552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406219482421875 × 2 - 1) × π
    -0.18756103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.58924037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656341552734375 × 2 - 1) × π
    -0.31268310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.982322947014191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58924037} λ = -0.58924037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.982322947014191))-π/2
    2×atan(0.374440282876198)-π/2
    2×0.358279869091356-π/2
    0.716559738182712-1.57079632675     		φ = -0.85423659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58924037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.760986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85423659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.944151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53244 KachelY 86028 -0.58924037 -0.85423659 -33.760986 -48.944151
    Oben rechts KachelX + 1 53245 KachelY 86028 -0.58919243 -0.85423659 -33.758240 -48.944151
    Unten links KachelX 53244 KachelY + 1 86029 -0.58924037 -0.85426807 -33.760986 -48.945955
    Unten rechts KachelX + 1 53245 KachelY + 1 86029 -0.58919243 -0.85426807 -33.758240 -48.945955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85423659--0.85426807) × R
    3.14800000000837e-05 × 6371000     		dl = 200.559080000533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85423659--0.85426807) × R
    3.14800000000837e-05 × 6371000     		dr = 200.559080000533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58924037--0.58919243) × cos(-0.85423659) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.656794365445566 × 6371000     		do = 200.601905093911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58924037--0.58919243) × cos(-0.85426807) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.656770627004951 × 6371000     		du = 200.59465476312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85423659)-sin(-0.85426807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656794365445566-0.656770627004951)×R²
    abs(-0.58919243--0.58924037)×2.37384406146512e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37384406146512e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37384406146512e-05×40589641000000     		ar = 40231.8064754173m²