Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53246 / 86022
↖ ↑ ↗
← S 48.933326°
W 33.755493°		 ← 200.65 m → S 48.933326°
W 33.752747°		 →
↑
200.62 m
↓
↑
200.62 m
↓
S 48.935131°
W 33.755493°		 ← 200.64 m →
40 253 m²		 S 48.935131°
W 33.752747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406238555908203 y=0.656299591064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406238555908203 × 217)
    floor (0.406238555908203 × 131072)
    floor (53246.5)     		tx = 53246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656299591064453 × 217)
    floor (0.656299591064453 × 131072)
    floor (86022.5)     		ty = 86022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53246 / 86022 ti = "17/53246/86022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53246/86022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53246 ÷ 217
    53246 ÷ 131072     		x = 0.406234741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86022 ÷ 217
    86022 ÷ 131072     		y = 0.656295776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406234741210938 × 2 - 1) × π
    -0.187530517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58914450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656295776367188 × 2 - 1) × π
    -0.312591552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.98203532561647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58914450} λ = -0.58914450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.98203532561647))-π/2
    2×atan(0.374547995403193)-π/2
    2×0.358374333391296-π/2
    0.716748666782592-1.57079632675     		φ = -0.85404766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58914450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.755493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85404766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.933326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53246 KachelY 86022 -0.58914450 -0.85404766 -33.755493 -48.933326
    Oben rechts KachelX + 1 53247 KachelY 86022 -0.58909656 -0.85404766 -33.752747 -48.933326
    Unten links KachelX 53246 KachelY + 1 86023 -0.58914450 -0.85407915 -33.755493 -48.935131
    Unten rechts KachelX + 1 53247 KachelY + 1 86023 -0.58909656 -0.85407915 -33.752747 -48.935131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85404766--0.85407915) × R
    3.14900000000229e-05 × 6371000     		dl = 200.622790000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85404766--0.85407915) × R
    3.14900000000229e-05 × 6371000     		dr = 200.622790000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58914450--0.58909656) × cos(-0.85404766) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.656936820117297 × 6371000     		do = 200.645414417441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58914450--0.58909656) × cos(-0.85407915) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.656913078043668 × 6371000     		du = 200.638162977033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85404766)-sin(-0.85407915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656936820117297-0.656913078043668)×R²
    abs(-0.58909656--0.58914450)×2.37420736295402e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37420736295402e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37420736295402e-05×40589641000000     		ar = 40253.3154422913m²