Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53247 / 20479
↖ ↑ ↗
← N 76.841442°
W 33.752747°		 ← 69.53 m → N 76.841442°
W 33.750000°		 →
↑
69.51 m
↓
↑
69.51 m
↓
N 76.840817°
W 33.752747°		 ← 69.53 m →
4 833 m²		 N 76.840817°
W 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406246185302734 y=0.156246185302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406246185302734 × 217)
    floor (0.406246185302734 × 131072)
    floor (53247.5)     		tx = 53247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156246185302734 × 217)
    floor (0.156246185302734 × 131072)
    floor (20479.5)     		ty = 20479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53247 / 20479 ti = "17/53247/20479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53247/20479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53247 ÷ 217
    53247 ÷ 131072     		x = 0.406242370605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20479 ÷ 217
    20479 ÷ 131072     		y = 0.156242370605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406242370605469 × 2 - 1) × π
    -0.187515258789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.58909656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156242370605469 × 2 - 1) × π
    0.687515258789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.15989288618087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58909656} λ = -0.58909656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15989288618087))-π/2
    2×atan(8.67020890953447)-π/2
    2×1.45596624303068-π/2
    2.91193248606137-1.57079632675     		φ = 1.34113616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58909656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.752747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34113616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.841442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53247 KachelY 20479 -0.58909656 1.34113616 -33.752747 76.841442
    Oben rechts KachelX + 1 53248 KachelY 20479 -0.58904862 1.34113616 -33.750000 76.841442
    Unten links KachelX 53247 KachelY + 1 20480 -0.58909656 1.34112525 -33.752747 76.840817
    Unten rechts KachelX + 1 53248 KachelY + 1 20480 -0.58904862 1.34112525 -33.750000 76.840817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34113616-1.34112525) × R
    1.09100000000861e-05 × 6371000     		dl = 69.5076100005487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34113616-1.34112525) × R
    1.09100000000861e-05 × 6371000     		dr = 69.5076100005487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58909656--0.58904862) × cos(1.34113616) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227646626205666 × 6371000     		do = 69.5291392673233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58909656--0.58904862) × cos(1.34112525) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227657249737119 × 6371000     		du = 69.5323839672786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34113616)-sin(1.34112525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227646626205666-0.227657249737119)×R²
    abs(-0.58904862--0.58909656)×1.06235314527858e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06235314527858e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06235314527858e-05×40589641000000     		ar = 4832.91706161592m²