Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53248 / 86016
↖ ↑ ↗
← S 48.922499°
W 33.750000°		 ← 200.65 m → S 48.922499°
W 33.747254°		 →
↑
200.69 m
↓
↑
200.69 m
↓
S 48.924304°
W 33.750000°		 ← 200.64 m →
40 266 m²		 S 48.924304°
W 33.747254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406253814697266 y=0.656253814697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406253814697266 × 217)
    floor (0.406253814697266 × 131072)
    floor (53248.5)     		tx = 53248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656253814697266 × 217)
    floor (0.656253814697266 × 131072)
    floor (86016.5)     		ty = 86016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53248 / 86016 ti = "17/53248/86016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53248/86016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53248 ÷ 217
    53248 ÷ 131072     		x = 0.40625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86016 ÷ 217
    86016 ÷ 131072     		y = 0.65625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40625 × 2 - 1) × π
    -0.1875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65625 × 2 - 1) × π
    -0.3125 × 3.1415926535     		Φ = -0.98174770421875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58904862} λ = -0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.98174770421875))-π/2
    2×atan(0.374655738915071)-π/2
    2×0.358468818178126-π/2
    0.716937636356251-1.57079632675     		φ = -0.85385869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85385869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.922499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53248 KachelY 86016 -0.58904862 -0.85385869 -33.750000 -48.922499
    Oben rechts KachelX + 1 53249 KachelY 86016 -0.58900069 -0.85385869 -33.747254 -48.922499
    Unten links KachelX 53248 KachelY + 1 86017 -0.58904862 -0.85389019 -33.750000 -48.924304
    Unten rechts KachelX + 1 53249 KachelY + 1 86017 -0.58900069 -0.85389019 -33.747254 -48.924304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85385869--0.85389019) × R
    3.14999999999621e-05 × 6371000     		dl = 200.686499999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85385869--0.85389019) × R
    3.14999999999621e-05 × 6371000     		dr = 200.686499999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58904862--0.58900069) × cos(-0.85385869) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.657079281492828 × 6371000     		do = 200.647063267714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58904862--0.58900069) × cos(-0.85389019) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.657055535790341 × 6371000     		du = 200.639812231799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85385869)-sin(-0.85389019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657079281492828-0.657055535790341)×R²
    abs(-0.58900069--0.58904862)×2.37457024867549e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37457024867549e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37457024867549e-05×40589641000000     		ar = 40266.4292731893m²