Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53249 / 77825
↖ ↑ ↗
← S 31.954493°
W 33.747254°		 ← 259.14 m → S 31.954493°
W 33.744507°		 →
↑
259.11 m
↓
↑
259.11 m
↓
S 31.956823°
W 33.747254°		 ← 259.14 m →
67 146 m²		 S 31.956823°
W 33.744507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406261444091797 y=0.593761444091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406261444091797 × 217)
    floor (0.406261444091797 × 131072)
    floor (53249.5)     		tx = 53249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593761444091797 × 217)
    floor (0.593761444091797 × 131072)
    floor (77825.5)     		ty = 77825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53249 / 77825 ti = "17/53249/77825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53249/77825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53249 ÷ 217
    53249 ÷ 131072     		x = 0.406257629394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77825 ÷ 217
    77825 ÷ 131072     		y = 0.593757629394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406257629394531 × 2 - 1) × π
    -0.187484741210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.58900069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593757629394531 × 2 - 1) × π
    -0.187515258789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.58909655943087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58900069} λ = -0.58900069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.58909655943087))-π/2
    2×atan(0.554828312782566)-π/2
    2×0.506542609574258-π/2
    1.01308521914852-1.57079632675     		φ = -0.55771111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58900069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.747254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55771111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.954493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53249 KachelY 77825 -0.58900069 -0.55771111 -33.747254 -31.954493
    Oben rechts KachelX + 1 53250 KachelY 77825 -0.58895275 -0.55771111 -33.744507 -31.954493
    Unten links KachelX 53249 KachelY + 1 77826 -0.58900069 -0.55775178 -33.747254 -31.956823
    Unten rechts KachelX + 1 53250 KachelY + 1 77826 -0.58895275 -0.55775178 -33.744507 -31.956823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55771111--0.55775178) × R
    4.06700000000759e-05 × 6371000     		dl = 259.108570000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55771111--0.55775178) × R
    4.06700000000759e-05 × 6371000     		dr = 259.108570000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58900069--0.58895275) × cos(-0.55771111) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.848468717337174 × 6371000     		do = 259.144185859387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58900069--0.58895275) × cos(-0.55775178) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.84844719221959 × 6371000     		du = 259.137611534421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55771111)-sin(-0.55775178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848468717337174-0.84844719221959)×R²
    abs(-0.58895275--0.58900069)×2.15251175832432e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.15251175832432e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.15251175832432e-05×40589641000000     		ar = 67145.6276991183m²