Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53250 / 4098
↖ ↑ ↗
← N 82.674884°
E112.510987°		 ← 77.88 m → N 82.674884°
E112.516480°		 →
↑
77.85 m
↓
↑
77.85 m
↓
N 82.674184°
E112.510987°		 ← 77.88 m →
6 063 m²		 N 82.674184°
E112.516480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812538146972656 y=0.0625381469726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812538146972656 × 216)
    floor (0.812538146972656 × 65536)
    floor (53250.5)     		tx = 53250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0625381469726562 × 216)
    floor (0.0625381469726562 × 65536)
    floor (4098.5)     		ty = 4098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53250 / 4098 ti = "16/53250/4098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53250/4098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53250 ÷ 216
    53250 ÷ 65536     		x = 0.812530517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4098 ÷ 216
    4098 ÷ 65536     		y = 0.062530517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.812530517578125 × 2 - 1) × π
    0.62506103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.96368716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.062530517578125 × 2 - 1) × π
    0.87493896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.74870182421402
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96368716} λ = 1.96368716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74870182421402))-π/2
    2×atan(15.622338173499)-π/2
    2×1.50687263379812-π/2
    3.01374526759623-1.57079632675     		φ = 1.44294894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96368716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.510987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44294894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.674884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53250 KachelY 4098 1.96368716 1.44294894 112.510987 82.674884
    Oben rechts KachelX + 1 53251 KachelY 4098 1.96378303 1.44294894 112.516480 82.674884
    Unten links KachelX 53250 KachelY + 1 4099 1.96368716 1.44293672 112.510987 82.674184
    Unten rechts KachelX + 1 53251 KachelY + 1 4099 1.96378303 1.44293672 112.516480 82.674184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44294894-1.44293672) × R
    1.22199999998962e-05 × 6371000     		dl = 77.8536199993387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44294894-1.44293672) × R
    1.22199999998962e-05 × 6371000     		dr = 77.8536199993387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96368716-1.96378303) × cos(1.44294894) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.127499394696448 × 6371000     		do = 77.8750709629914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96368716-1.96378303) × cos(1.44293672) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.12751151495521 × 6371000     		du = 77.882473868813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44294894)-sin(1.44293672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127499394696448-0.12751151495521)×R²
    abs(1.96378303-1.96368716)×1.21202587627378e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.21202587627378e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.21202587627378e-05×40589641000000     		ar = 6063.14435395809m²