Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53250 / 86018
↖ ↑ ↗
← S 48.926108°
W 33.744507°		 ← 200.67 m → S 48.926108°
W 33.741760°		 →
↑
200.69 m
↓
↑
200.69 m
↓
S 48.927913°
W 33.744507°		 ← 200.67 m →
40 272 m²		 S 48.927913°
W 33.741760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406269073486328 y=0.656269073486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406269073486328 × 217)
    floor (0.406269073486328 × 131072)
    floor (53250.5)     		tx = 53250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656269073486328 × 217)
    floor (0.656269073486328 × 131072)
    floor (86018.5)     		ty = 86018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53250 / 86018 ti = "17/53250/86018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53250/86018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53250 ÷ 217
    53250 ÷ 131072     		x = 0.406265258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86018 ÷ 217
    86018 ÷ 131072     		y = 0.656265258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406265258789062 × 2 - 1) × π
    -0.187469482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58895275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656265258789062 × 2 - 1) × π
    -0.312530517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.98184357801799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58895275} λ = -0.58895275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.98184357801799))-π/2
    2×atan(0.374619820967796)-π/2
    2×0.358437320972796-π/2
    0.716874641945591-1.57079632675     		φ = -0.85392168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58895275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.744507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85392168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.926108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53250 KachelY 86018 -0.58895275 -0.85392168 -33.744507 -48.926108
    Oben rechts KachelX + 1 53251 KachelY 86018 -0.58890481 -0.85392168 -33.741760 -48.926108
    Unten links KachelX 53250 KachelY + 1 86019 -0.58895275 -0.85395318 -33.744507 -48.927913
    Unten rechts KachelX + 1 53251 KachelY + 1 86019 -0.58890481 -0.85395318 -33.741760 -48.927913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85392168--0.85395318) × R
    3.14999999999621e-05 × 6371000     		dl = 200.686499999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85392168--0.85395318) × R
    3.14999999999621e-05 × 6371000     		dr = 200.686499999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58895275--0.58890481) × cos(-0.85392168) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.657031796974519 × 6371000     		do = 200.674422794805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58895275--0.58890481) × cos(-0.85395318) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.657008049968337 × 6371000     		du = 200.667169847869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85392168)-sin(-0.85395318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657031796974519-0.657008049968337)×R²
    abs(-0.58890481--0.58895275)×2.37470061829059e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37470061829059e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37470061829059e-05×40589641000000     		ar = 40271.919769222m²