Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53251 / 86019
↖ ↑ ↗
← S 48.927913°
W 33.741760°		 ← 200.67 m → S 48.927913°
W 33.739013°		 →
↑
200.62 m
↓
↑
200.62 m
↓
S 48.929717°
W 33.741760°		 ← 200.66 m →
40 258 m²		 S 48.929717°
W 33.739013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406276702880859 y=0.656276702880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406276702880859 × 217)
    floor (0.406276702880859 × 131072)
    floor (53251.5)     		tx = 53251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656276702880859 × 217)
    floor (0.656276702880859 × 131072)
    floor (86019.5)     		ty = 86019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53251 / 86019 ti = "17/53251/86019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53251/86019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53251 ÷ 217
    53251 ÷ 131072     		x = 0.406272888183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86019 ÷ 217
    86019 ÷ 131072     		y = 0.656272888183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406272888183594 × 2 - 1) × π
    -0.187454223632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.58890481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656272888183594 × 2 - 1) × π
    -0.312545776367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.98189151491761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58890481} λ = -0.58890481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.98189151491761))-π/2
    2×atan(0.374601863285464)-π/2
    2×0.358421573223783-π/2
    0.716843146447566-1.57079632675     		φ = -0.85395318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58890481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.741760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85395318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.927913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53251 KachelY 86019 -0.58890481 -0.85395318 -33.741760 -48.927913
    Oben rechts KachelX + 1 53252 KachelY 86019 -0.58885687 -0.85395318 -33.739013 -48.927913
    Unten links KachelX 53251 KachelY + 1 86020 -0.58890481 -0.85398467 -33.741760 -48.929717
    Unten rechts KachelX + 1 53252 KachelY + 1 86020 -0.58885687 -0.85398467 -33.739013 -48.929717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85395318--0.85398467) × R
    3.14900000000229e-05 × 6371000     		dl = 200.622790000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85395318--0.85398467) × R
    3.14900000000229e-05 × 6371000     		dr = 200.622790000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58890481--0.58885687) × cos(-0.85395318) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657008049968337 × 6371000     		do = 200.667169847405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58890481--0.58885687) × cos(-0.85398467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.65698430984928 × 6371000     		du = 200.659919003974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85395318)-sin(-0.85398467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657008049968337-0.65698430984928)×R²
    abs(-0.58885687--0.58890481)×2.37401190567033e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37401190567033e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37401190567033e-05×40589641000000     		ar = 40257.6801373599m²