Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53252 / 86020
↖ ↑ ↗
← S 48.929717°
W 33.739013°		 ← 200.62 m → S 48.929717°
W 33.736267°		 →
↑
200.69 m
↓
↑
200.69 m
↓
S 48.931522°
W 33.739013°		 ← 200.61 m →
40 261 m²		 S 48.931522°
W 33.736267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406284332275391 y=0.656284332275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406284332275391 × 217)
    floor (0.406284332275391 × 131072)
    floor (53252.5)     		tx = 53252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656284332275391 × 217)
    floor (0.656284332275391 × 131072)
    floor (86020.5)     		ty = 86020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53252 / 86020 ti = "17/53252/86020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53252/86020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53252 ÷ 217
    53252 ÷ 131072     		x = 0.406280517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86020 ÷ 217
    86020 ÷ 131072     		y = 0.656280517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406280517578125 × 2 - 1) × π
    -0.18743896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58885687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656280517578125 × 2 - 1) × π
    -0.31256103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.98193945181723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58885687} λ = -0.58885687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.98193945181723))-π/2
    2×atan(0.374583906463947)-π/2
    2×0.358405826043866-π/2
    0.716811652087731-1.57079632675     		φ = -0.85398467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58885687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.739013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85398467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.929717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53252 KachelY 86020 -0.58885687 -0.85398467 -33.739013 -48.929717
    Oben rechts KachelX + 1 53253 KachelY 86020 -0.58880894 -0.85398467 -33.736267 -48.929717
    Unten links KachelX 53252 KachelY + 1 86021 -0.58885687 -0.85401617 -33.739013 -48.931522
    Unten rechts KachelX + 1 53253 KachelY + 1 86021 -0.58880894 -0.85401617 -33.736267 -48.931522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85398467--0.85401617) × R
    3.14999999999621e-05 × 6371000     		dl = 200.686499999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85398467--0.85401617) × R
    3.14999999999621e-05 × 6371000     		dr = 200.686499999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58885687--0.58880894) × cos(-0.85398467) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.65698430984928 × 6371000     		do = 200.618062533848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58885687--0.58880894) × cos(-0.85401617) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656960561539495 × 6371000     		du = 200.610810701763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85398467)-sin(-0.85401617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65698430984928-0.656960561539495)×R²
    abs(-0.58880894--0.58885687)×2.374830978491e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.374830978491e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.374830978491e-05×40589641000000     		ar = 40260.6091375577m²