Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53255 / 86025
↖ ↑ ↗
← S 48.938739°
W 33.730774°		 ← 200.58 m → S 48.938739°
W 33.728027°		 →
↑
200.62 m
↓
↑
200.62 m
↓
S 48.940543°
W 33.730774°		 ← 200.57 m →
40 241 m²		 S 48.940543°
W 33.728027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406307220458984 y=0.656322479248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406307220458984 × 217)
    floor (0.406307220458984 × 131072)
    floor (53255.5)     		tx = 53255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656322479248047 × 217)
    floor (0.656322479248047 × 131072)
    floor (86025.5)     		ty = 86025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53255 / 86025 ti = "17/53255/86025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53255/86025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53255 ÷ 217
    53255 ÷ 131072     		x = 0.406303405761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86025 ÷ 217
    86025 ÷ 131072     		y = 0.656318664550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406303405761719 × 2 - 1) × π
    -0.187393188476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.58871306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656318664550781 × 2 - 1) × π
    -0.312637329101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.98217913631533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58871306} λ = -0.58871306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.98217913631533))-π/2
    2×atan(0.374494135267142)-π/2
    2×0.358327098680532-π/2
    0.716654197361063-1.57079632675     		φ = -0.85414213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58871306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.730774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85414213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.938739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53255 KachelY 86025 -0.58871306 -0.85414213 -33.730774 -48.938739
    Oben rechts KachelX + 1 53256 KachelY 86025 -0.58866513 -0.85414213 -33.728027 -48.938739
    Unten links KachelX 53255 KachelY + 1 86026 -0.58871306 -0.85417362 -33.730774 -48.940543
    Unten rechts KachelX + 1 53256 KachelY + 1 86026 -0.58866513 -0.85417362 -33.728027 -48.940543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85414213--0.85417362) × R
    3.14899999999119e-05 × 6371000     		dl = 200.622789999439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85414213--0.85417362) × R
    3.14899999999119e-05 × 6371000     		dr = 200.622789999439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58871306--0.58866513) × cos(-0.85414213) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656865591942208 × 6371000     		do = 200.581810592747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58871306--0.58866513) × cos(-0.85417362) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656841847914424 × 6371000     		du = 200.574560068223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85414213)-sin(-0.85417362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656865591942208-0.656841847914424)×R²
    abs(-0.58866513--0.58871306)×2.37440277833789e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37440277833789e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37440277833789e-05×40589641000000     		ar = 40240.5551573966m²