Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53256 / 20488
↖ ↑ ↗
← N 55.751850°
E112.543945°		 ← 343.74 m → N 55.751850°
E112.549438°		 →
↑
343.78 m
↓
↑
343.78 m
↓
N 55.748758°
E112.543945°		 ← 343.77 m →
118 175 m²		 N 55.748758°
E112.549438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812629699707031 y=0.312629699707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812629699707031 × 216)
    floor (0.812629699707031 × 65536)
    floor (53256.5)     		tx = 53256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312629699707031 × 216)
    floor (0.312629699707031 × 65536)
    floor (20488.5)     		ty = 20488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53256 / 20488 ti = "16/53256/20488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53256/20488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53256 ÷ 216
    53256 ÷ 65536     		x = 0.8126220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20488 ÷ 216
    20488 ÷ 65536     		y = 0.3126220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8126220703125 × 2 - 1) × π
    0.625244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.96426240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3126220703125 × 2 - 1) × π
    0.374755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17733025466858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96426240} λ = 1.96426240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17733025466858))-π/2
    2×atan(3.24569744008197)-π/2
    2×1.27192483136887-π/2
    2.54384966273774-1.57079632675     		φ = 0.97305334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96426240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.543945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97305334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.751850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53256 KachelY 20488 1.96426240 0.97305334 112.543945 55.751850
    Oben rechts KachelX + 1 53257 KachelY 20488 1.96435827 0.97305334 112.549438 55.751850
    Unten links KachelX 53256 KachelY + 1 20489 1.96426240 0.97299938 112.543945 55.748758
    Unten rechts KachelX + 1 53257 KachelY + 1 20489 1.96435827 0.97299938 112.549438 55.748758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97305334-0.97299938) × R
    5.39600000000195e-05 × 6371000     		dl = 343.779160000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97305334-0.97299938) × R
    5.39600000000195e-05 × 6371000     		dr = 343.779160000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96426240-1.96435827) × cos(0.97305334) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.562778243420655 × 6371000     		do = 343.738068303412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96426240-1.96435827) × cos(0.97299938) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.562822846364529 × 6371000     		du = 343.765311236036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97305334)-sin(0.97299938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562778243420655-0.562822846364529)×R²
    abs(1.96435827-1.96426240)×4.46029438735396e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46029438735396e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46029438735396e-05×40589641000000     		ar = 118174.6671864m²