Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53256 / 86024
↖ ↑ ↗
← S 48.936935°
W 33.728027°		 ← 200.63 m → S 48.936935°
W 33.725281°		 →
↑
200.62 m
↓
↑
200.62 m
↓
S 48.938739°
W 33.728027°		 ← 200.62 m →
40 250 m²		 S 48.938739°
W 33.725281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406314849853516 y=0.656314849853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406314849853516 × 217)
    floor (0.406314849853516 × 131072)
    floor (53256.5)     		tx = 53256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656314849853516 × 217)
    floor (0.656314849853516 × 131072)
    floor (86024.5)     		ty = 86024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53256 / 86024 ti = "17/53256/86024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53256/86024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53256 ÷ 217
    53256 ÷ 131072     		x = 0.40631103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86024 ÷ 217
    86024 ÷ 131072     		y = 0.65631103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40631103515625 × 2 - 1) × π
    -0.1873779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58866513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65631103515625 × 2 - 1) × π
    -0.3126220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.98213119941571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58866513} λ = -0.58866513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.98213119941571))-π/2
    2×atan(0.374512087785203)-π/2
    2×0.358342843015048-π/2
    0.716685686030096-1.57079632675     		φ = -0.85411064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58866513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.728027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85411064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.936935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53256 KachelY 86024 -0.58866513 -0.85411064 -33.728027 -48.936935
    Oben rechts KachelX + 1 53257 KachelY 86024 -0.58861719 -0.85411064 -33.725281 -48.936935
    Unten links KachelX 53256 KachelY + 1 86025 -0.58866513 -0.85414213 -33.728027 -48.938739
    Unten rechts KachelX + 1 53257 KachelY + 1 86025 -0.58861719 -0.85414213 -33.725281 -48.938739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85411064--0.85414213) × R
    3.14900000000229e-05 × 6371000     		dl = 200.622790000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85411064--0.85414213) × R
    3.14900000000229e-05 × 6371000     		dr = 200.622790000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58866513--0.58861719) × cos(-0.85411064) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.65688933531863 × 6371000     		do = 200.630911337669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58866513--0.58861719) × cos(-0.85414213) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.656865591942208 × 6371000     		du = 200.623659499355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85411064)-sin(-0.85414213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65688933531863-0.656865591942208)×R²
    abs(-0.58861719--0.58866513)×2.37433764224138e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37433764224138e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37433764224138e-05×40589641000000     		ar = 40250.4057539563m²