Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53256 / 94216
↖ ↑ ↗
← S 61.616843°
W 33.728027°		 ← 145.19 m → S 61.616843°
W 33.725281°		 →
↑
145.20 m
↓
↑
145.20 m
↓
S 61.618149°
W 33.728027°		 ← 145.18 m →
21 080 m²		 S 61.618149°
W 33.725281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406314849853516 y=0.718814849853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406314849853516 × 217)
    floor (0.406314849853516 × 131072)
    floor (53256.5)     		tx = 53256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718814849853516 × 217)
    floor (0.718814849853516 × 131072)
    floor (94216.5)     		ty = 94216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53256 / 94216 ti = "17/53256/94216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53256/94216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53256 ÷ 217
    53256 ÷ 131072     		x = 0.40631103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94216 ÷ 217
    94216 ÷ 131072     		y = 0.71881103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40631103515625 × 2 - 1) × π
    -0.1873779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58866513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71881103515625 × 2 - 1) × π
    -0.4376220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.37483028110321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58866513} λ = -0.58866513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37483028110321))-π/2
    2×atan(0.252882511103677)-π/2
    2×0.247689769332034-π/2
    0.495379538664068-1.57079632675     		φ = -1.07541679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58866513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.728027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07541679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.616843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53256 KachelY 94216 -0.58866513 -1.07541679 -33.728027 -61.616843
    Oben rechts KachelX + 1 53257 KachelY 94216 -0.58861719 -1.07541679 -33.725281 -61.616843
    Unten links KachelX 53256 KachelY + 1 94217 -0.58866513 -1.07543958 -33.728027 -61.618149
    Unten rechts KachelX + 1 53257 KachelY + 1 94217 -0.58861719 -1.07543958 -33.725281 -61.618149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07541679--1.07543958) × R
    2.27900000000503e-05 × 6371000     		dl = 145.19509000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07541679--1.07543958) × R
    2.27900000000503e-05 × 6371000     		dr = 145.19509000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58866513--0.58861719) × cos(-1.07541679) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.475365597552951 × 6371000     		do = 145.188889403057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58866513--0.58861719) × cos(-1.07543958) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.475345547052906 × 6371000     		du = 145.182765464243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07541679)-sin(-1.07543958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475365597552951-0.475345547052906)×R²
    abs(-0.58861719--0.58866513)×2.00505000453877e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00505000453877e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00505000453877e-05×40589641000000     		ar = 21080.2692819152m²