Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53264 / 86032
↖ ↑ ↗
← S 48.951367°
W 33.706055°		 ← 200.53 m → S 48.951367°
W 33.703308°		 →
↑
200.56 m
↓
↑
200.56 m
↓
S 48.953170°
W 33.706055°		 ← 200.52 m →
40 218 m²		 S 48.953170°
W 33.703308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406375885009766 y=0.656375885009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406375885009766 × 217)
    floor (0.406375885009766 × 131072)
    floor (53264.5)     		tx = 53264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656375885009766 × 217)
    floor (0.656375885009766 × 131072)
    floor (86032.5)     		ty = 86032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53264 / 86032 ti = "17/53264/86032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53264/86032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53264 ÷ 217
    53264 ÷ 131072     		x = 0.4063720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86032 ÷ 217
    86032 ÷ 131072     		y = 0.6563720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4063720703125 × 2 - 1) × π
    -0.187255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58828163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6563720703125 × 2 - 1) × π
    -0.312744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.982514694612671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58828163} λ = -0.58828163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.982514694612671))-π/2
    2×atan(0.374368491734291)-π/2
    2×0.358216904272472-π/2
    0.716433808544943-1.57079632675     		φ = -0.85436252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58828163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.706055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85436252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.951367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53264 KachelY 86032 -0.58828163 -0.85436252 -33.706055 -48.951367
    Oben rechts KachelX + 1 53265 KachelY 86032 -0.58823370 -0.85436252 -33.703308 -48.951367
    Unten links KachelX 53264 KachelY + 1 86033 -0.58828163 -0.85439400 -33.706055 -48.953170
    Unten rechts KachelX + 1 53265 KachelY + 1 86033 -0.58823370 -0.85439400 -33.703308 -48.953170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85436252--0.85439400) × R
    3.14799999999726e-05 × 6371000     		dl = 200.559079999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85436252--0.85439400) × R
    3.14799999999726e-05 × 6371000     		dr = 200.559079999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58828163--0.58823370) × cos(-0.85436252) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656699400236557 × 6371000     		do = 200.53106195614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58828163--0.58823370) × cos(-0.85439400) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656675659192463 × 6371000     		du = 200.523812342721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85436252)-sin(-0.85439400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656699400236557-0.656675659192463)×R²
    abs(-0.58823370--0.58828163)×2.37410440937502e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37410440937502e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37410440937502e-05×40589641000000     		ar = 40217.5983126733m²