Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53280 / 86049
↖ ↑ ↗
← S 48.982020°
W 33.662109°		 ← 200.45 m → S 48.982020°
W 33.659363°		 →
↑
200.43 m
↓
↑
200.43 m
↓
S 48.983822°
W 33.662109°		 ← 200.44 m →
40 176 m²		 S 48.983822°
W 33.659363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406497955322266 y=0.656505584716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406497955322266 × 217)
    floor (0.406497955322266 × 131072)
    floor (53280.5)     		tx = 53280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656505584716797 × 217)
    floor (0.656505584716797 × 131072)
    floor (86049.5)     		ty = 86049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53280 / 86049 ti = "17/53280/86049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53280/86049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53280 ÷ 217
    53280 ÷ 131072     		x = 0.406494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86049 ÷ 217
    86049 ÷ 131072     		y = 0.656501770019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406494140625 × 2 - 1) × π
    -0.18701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58751464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656501770019531 × 2 - 1) × π
    -0.313003540039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.983329621906212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58751464} λ = -0.58751464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.983329621906212))-π/2
    2×atan(0.374063532909048)-π/2
    2×0.357949405360329-π/2
    0.715898810720658-1.57079632675     		φ = -0.85489752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58751464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.662109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85489752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.982020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53280 KachelY 86049 -0.58751464 -0.85489752 -33.662109 -48.982020
    Oben rechts KachelX + 1 53281 KachelY 86049 -0.58746670 -0.85489752 -33.659363 -48.982020
    Unten links KachelX 53280 KachelY + 1 86050 -0.58751464 -0.85492898 -33.662109 -48.983822
    Unten rechts KachelX + 1 53281 KachelY + 1 86050 -0.58746670 -0.85492898 -33.659363 -48.983822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85489752--0.85492898) × R
    3.14599999999832e-05 × 6371000     		dl = 200.431659999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85489752--0.85492898) × R
    3.14599999999832e-05 × 6371000     		dr = 200.431659999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58751464--0.58746670) × cos(-0.85489752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.656295834720297 × 6371000     		do = 200.449640978233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58751464--0.58746670) × cos(-0.85492898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.656272097710288 × 6371000     		du = 200.442391084386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85489752)-sin(-0.85492898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656295834720297-0.656272097710288)×R²
    abs(-0.58746670--0.58751464)×2.37370100092393e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37370100092393e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37370100092393e-05×40589641000000     		ar = 40175.7277368216m²