Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53281 / 86047
↖ ↑ ↗
← S 48.978414°
W 33.659363°		 ← 200.42 m → S 48.978414°
W 33.656616°		 →
↑
200.43 m
↓
↑
200.43 m
↓
S 48.980217°
W 33.659363°		 ← 200.42 m →
40 170 m²		 S 48.980217°
W 33.656616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406505584716797 y=0.656490325927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406505584716797 × 217)
    floor (0.406505584716797 × 131072)
    floor (53281.5)     		tx = 53281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656490325927734 × 217)
    floor (0.656490325927734 × 131072)
    floor (86047.5)     		ty = 86047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53281 / 86047 ti = "17/53281/86047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53281/86047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53281 ÷ 217
    53281 ÷ 131072     		x = 0.406501770019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86047 ÷ 217
    86047 ÷ 131072     		y = 0.656486511230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406501770019531 × 2 - 1) × π
    -0.186996459960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.58746670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656486511230469 × 2 - 1) × π
    -0.312973022460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.983233748106972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58746670} λ = -0.58746670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.983233748106972))-π/2
    2×atan(0.374099397520316)-π/2
    2×0.357980867285919-π/2
    0.715961734571838-1.57079632675     		φ = -0.85483459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58746670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.659363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85483459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.978414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53281 KachelY 86047 -0.58746670 -0.85483459 -33.659363 -48.978414
    Oben rechts KachelX + 1 53282 KachelY 86047 -0.58741877 -0.85483459 -33.656616 -48.978414
    Unten links KachelX 53281 KachelY + 1 86048 -0.58746670 -0.85486605 -33.659363 -48.980217
    Unten rechts KachelX + 1 53282 KachelY + 1 86048 -0.58741877 -0.85486605 -33.656616 -48.980217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85483459--0.85486605) × R
    3.14600000000942e-05 × 6371000     		dl = 200.4316600006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85483459--0.85486605) × R
    3.14600000000942e-05 × 6371000     		dr = 200.4316600006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58746670--0.58741877) × cos(-0.85483459) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656343314336246 × 6371000     		do = 200.422326842767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58746670--0.58741877) × cos(-0.85486605) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.65631957862558 × 6371000     		du = 200.415078857974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85483459)-sin(-0.85486605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656343314336246-0.65631957862558)×R²
    abs(-0.58741877--0.58746670)×2.37357106658287e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37357106658287e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37357106658287e-05×40589641000000     		ar = 40170.2533108103m²