Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53296 / 86000
↖ ↑ ↗
← S 48.893615°
W 33.618164°		 ← 200.80 m → S 48.893615°
W 33.615417°		 →
↑
200.81 m
↓
↑
200.81 m
↓
S 48.895421°
W 33.618164°		 ← 200.80 m →
40 324 m²		 S 48.895421°
W 33.615417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406620025634766 y=0.656131744384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406620025634766 × 217)
    floor (0.406620025634766 × 131072)
    floor (53296.5)     		tx = 53296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656131744384766 × 217)
    floor (0.656131744384766 × 131072)
    floor (86000.5)     		ty = 86000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53296 / 86000 ti = "17/53296/86000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53296/86000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53296 ÷ 217
    53296 ÷ 131072     		x = 0.4066162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86000 ÷ 217
    86000 ÷ 131072     		y = 0.6561279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4066162109375 × 2 - 1) × π
    -0.186767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58674765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6561279296875 × 2 - 1) × π
    -0.312255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.980980713824829
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58674765} λ = -0.58674765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.980980713824829))-π/2
    2×atan(0.37494320649619)-π/2
    2×0.358720877775912-π/2
    0.717441755551824-1.57079632675     		φ = -0.85335457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58674765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.618164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85335457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.893615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53296 KachelY 86000 -0.58674765 -0.85335457 -33.618164 -48.893615
    Oben rechts KachelX + 1 53297 KachelY 86000 -0.58669971 -0.85335457 -33.615417 -48.893615
    Unten links KachelX 53296 KachelY + 1 86001 -0.58674765 -0.85338609 -33.618164 -48.895421
    Unten rechts KachelX + 1 53297 KachelY + 1 86001 -0.58669971 -0.85338609 -33.615417 -48.895421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85335457--0.85338609) × R
    3.15199999999516e-05 × 6371000     		dl = 200.813919999692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85335457--0.85338609) × R
    3.15199999999516e-05 × 6371000     		dr = 200.813919999692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58674765--0.58669971) × cos(-0.85335457) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657459214465196 × 6371000     		do = 200.804967097719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58674765--0.58669971) × cos(-0.85338609) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657435464129595 × 6371000     		du = 200.797713133893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85335457)-sin(-0.85338609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657459214465196-0.657435464129595)×R²
    abs(-0.58669971--0.58674765)×2.37503356008695e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37503356008695e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37503356008695e-05×40589641000000     		ar = 40323.7042531389m²