Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53311 / 86079
↖ ↑ ↗
← S 49.036067°
W 33.576965°		 ← 200.23 m → S 49.036067°
W 33.574219°		 →
↑
200.18 m
↓
↑
200.18 m
↓
S 49.037868°
W 33.576965°		 ← 200.22 m →
40 081 m²		 S 49.037868°
W 33.574219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406734466552734 y=0.656734466552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406734466552734 × 217)
    floor (0.406734466552734 × 131072)
    floor (53311.5)     		tx = 53311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656734466552734 × 217)
    floor (0.656734466552734 × 131072)
    floor (86079.5)     		ty = 86079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53311 / 86079 ti = "17/53311/86079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53311/86079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53311 ÷ 217
    53311 ÷ 131072     		x = 0.406730651855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86079 ÷ 217
    86079 ÷ 131072     		y = 0.656730651855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406730651855469 × 2 - 1) × π
    -0.186538696289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.58602860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656730651855469 × 2 - 1) × π
    -0.313461303710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.984767728894814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58602860} λ = -0.58602860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.984767728894814))-π/2
    2×atan(0.3735259761529)-π/2
    2×0.357477749547947-π/2
    0.714955499095894-1.57079632675     		φ = -0.85584083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58602860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.576965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85584083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.036067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53311 KachelY 86079 -0.58602860 -0.85584083 -33.576965 -49.036067
    Oben rechts KachelX + 1 53312 KachelY 86079 -0.58598066 -0.85584083 -33.574219 -49.036067
    Unten links KachelX 53311 KachelY + 1 86080 -0.58602860 -0.85587225 -33.576965 -49.037868
    Unten rechts KachelX + 1 53312 KachelY + 1 86080 -0.58598066 -0.85587225 -33.574219 -49.037868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85584083--0.85587225) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dl = 200.176820000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85584083--0.85587225) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dr = 200.176820000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58602860--0.58598066) × cos(-0.85584083) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.655583811978529 × 6371000     		do = 200.232170905432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58602860--0.58598066) × cos(-0.85587225) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.655560085708572 × 6371000     		du = 200.224924291873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85584083)-sin(-0.85587225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655583811978529-0.655560085708572)×R²
    abs(-0.58598066--0.58602860)×2.37262699568364e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37262699568364e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37262699568364e-05×40589641000000     		ar = 40081.1139348358m²