Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53312 / 86081
↖ ↑ ↗
← S 49.039669°
W 33.574219°		 ← 200.22 m → S 49.039669°
W 33.571472°		 →
↑
200.18 m
↓
↑
200.18 m
↓
S 49.041469°
W 33.574219°		 ← 200.21 m →
40 078 m²		 S 49.041469°
W 33.571472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406742095947266 y=0.656749725341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406742095947266 × 217)
    floor (0.406742095947266 × 131072)
    floor (53312.5)     		tx = 53312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656749725341797 × 217)
    floor (0.656749725341797 × 131072)
    floor (86081.5)     		ty = 86081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53312 / 86081 ti = "17/53312/86081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53312/86081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53312 ÷ 217
    53312 ÷ 131072     		x = 0.40673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86081 ÷ 217
    86081 ÷ 131072     		y = 0.656745910644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40673828125 × 2 - 1) × π
    -0.1865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58598066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656745910644531 × 2 - 1) × π
    -0.313491821289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.984863602694054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58598066} λ = -0.58598066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.984863602694054))-π/2
    2×atan(0.373490166515081)-π/2
    2×0.357446324030059-π/2
    0.714892648060118-1.57079632675     		φ = -0.85590368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58598066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.574219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85590368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.039669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53312 KachelY 86081 -0.58598066 -0.85590368 -33.574219 -49.039669
    Oben rechts KachelX + 1 53313 KachelY 86081 -0.58593272 -0.85590368 -33.571472 -49.039669
    Unten links KachelX 53312 KachelY + 1 86082 -0.58598066 -0.85593510 -33.574219 -49.041469
    Unten rechts KachelX + 1 53313 KachelY + 1 86082 -0.58593272 -0.85593510 -33.571472 -49.041469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85590368--0.85593510) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dl = 200.176820000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85590368--0.85593510) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dr = 200.176820000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58598066--0.58593272) × cos(-0.85590368) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.6555363512398 × 6371000     		do = 200.217675174648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58598066--0.58593272) × cos(-0.85593510) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.655512623675301 × 6371000     		du = 200.210428165703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85590368)-sin(-0.85593510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6555363512398-0.655512623675301)×R²
    abs(-0.58593272--0.58598066)×2.37275644986434e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37275644986434e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37275644986434e-05×40589641000000     		ar = 40078.2121860841m²