Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53316 / 86084
↖ ↑ ↗
← S 49.045070°
W 33.563232°		 ← 200.15 m → S 49.045070°
W 33.560486°		 →
↑
200.18 m
↓
↑
200.18 m
↓
S 49.046870°
W 33.563232°		 ← 200.15 m →
40 066 m²		 S 49.046870°
W 33.560486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406772613525391 y=0.656772613525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406772613525391 × 217)
    floor (0.406772613525391 × 131072)
    floor (53316.5)     		tx = 53316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656772613525391 × 217)
    floor (0.656772613525391 × 131072)
    floor (86084.5)     		ty = 86084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53316 / 86084 ti = "17/53316/86084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53316/86084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53316 ÷ 217
    53316 ÷ 131072     		x = 0.406768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86084 ÷ 217
    86084 ÷ 131072     		y = 0.656768798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406768798828125 × 2 - 1) × π
    -0.18646240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58578891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656768798828125 × 2 - 1) × π
    -0.31353759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.985007413392914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58578891} λ = -0.58578891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.985007413392914))-π/2
    2×atan(0.373436458495204)-π/2
    2×0.357399190019098-π/2
    0.714798380038195-1.57079632675     		φ = -0.85599795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58578891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.563232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85599795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.045070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53316 KachelY 86084 -0.58578891 -0.85599795 -33.563232 -49.045070
    Oben rechts KachelX + 1 53317 KachelY 86084 -0.58574098 -0.85599795 -33.560486 -49.045070
    Unten links KachelX 53316 KachelY + 1 86085 -0.58578891 -0.85602937 -33.563232 -49.046870
    Unten rechts KachelX + 1 53317 KachelY + 1 86085 -0.58574098 -0.85602937 -33.560486 -49.046870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85599795--0.85602937) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dl = 200.176820000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85599795--0.85602937) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dr = 200.176820000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58578891--0.58574098) × cos(-0.85599795) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.655465159052675 × 6371000     		do = 200.15417156272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58578891--0.58574098) × cos(-0.85602937) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.655441429546642 × 6371000     		du = 200.146925472587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85599795)-sin(-0.85602937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655465159052675-0.655441429546642)×R²
    abs(-0.58574098--0.58578891)×2.37295060327991e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37295060327991e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37295060327991e-05×40589641000000     		ar = 40065.5003267621m²