Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53320 / 86088
↖ ↑ ↗
← S 49.052270°
W 33.552246°		 ← 200.17 m → S 49.052270°
W 33.549500°		 →
↑
200.18 m
↓
↑
200.18 m
↓
S 49.054070°
W 33.552246°		 ← 200.16 m →
40 068 m²		 S 49.054070°
W 33.549500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406803131103516 y=0.656803131103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406803131103516 × 217)
    floor (0.406803131103516 × 131072)
    floor (53320.5)     		tx = 53320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656803131103516 × 217)
    floor (0.656803131103516 × 131072)
    floor (86088.5)     		ty = 86088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53320 / 86088 ti = "17/53320/86088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53320/86088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53320 ÷ 217
    53320 ÷ 131072     		x = 0.40679931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86088 ÷ 217
    86088 ÷ 131072     		y = 0.65679931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40679931640625 × 2 - 1) × π
    -0.1864013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58559717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65679931640625 × 2 - 1) × π
    -0.3135986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.985199160991394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58559717} λ = -0.58559717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.985199160991394))-π/2
    2×atan(0.373364859815759)-π/2
    2×0.357336352633894-π/2
    0.714672705267789-1.57079632675     		φ = -0.85612362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58559717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.552246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85612362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.052270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53320 KachelY 86088 -0.58559717 -0.85612362 -33.552246 -49.052270
    Oben rechts KachelX + 1 53321 KachelY 86088 -0.58554923 -0.85612362 -33.549500 -49.052270
    Unten links KachelX 53320 KachelY + 1 86089 -0.58559717 -0.85615504 -33.552246 -49.054070
    Unten rechts KachelX + 1 53321 KachelY + 1 86089 -0.58554923 -0.85615504 -33.549500 -49.054070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85612362--0.85615504) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dl = 200.176820000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85612362--0.85615504) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dr = 200.176820000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58559717--0.58554923) × cos(-0.85612362) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.65537024469934 × 6371000     		do = 200.166941961146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58559717--0.58554923) × cos(-0.85615504) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.655346512605404 × 6371000     		du = 200.159693568793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85612362)-sin(-0.85615504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65537024469934-0.655346512605404)×R²
    abs(-0.58554923--0.58559717)×2.37320939363572e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37320939363572e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37320939363572e-05×40589641000000     		ar = 40068.0564342386m²