Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53376 / 86144
↖ ↑ ↗
← S 49.152970°
W 33.398438°		 ← 199.76 m → S 49.152970°
W 33.395691°		 →
↑
199.73 m
↓
↑
199.73 m
↓
S 49.154766°
W 33.398438°		 ← 199.75 m →
39 898 m²		 S 49.154766°
W 33.395691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407230377197266 y=0.657230377197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407230377197266 × 217)
    floor (0.407230377197266 × 131072)
    floor (53376.5)     		tx = 53376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657230377197266 × 217)
    floor (0.657230377197266 × 131072)
    floor (86144.5)     		ty = 86144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53376 / 86144 ti = "17/53376/86144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53376/86144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53376 ÷ 217
    53376 ÷ 131072     		x = 0.4072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86144 ÷ 217
    86144 ÷ 131072     		y = 0.6572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4072265625 × 2 - 1) × π
    -0.185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58291270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6572265625 × 2 - 1) × π
    -0.314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.987883627370117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58291270} λ = -0.58291270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.987883627370117))-π/2
    2×atan(0.372363918500337)-π/2
    2×0.356457584590163-π/2
    0.712915169180325-1.57079632675     		φ = -0.85788116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58291270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.398438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85788116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.152970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53376 KachelY 86144 -0.58291270 -0.85788116 -33.398438 -49.152970
    Oben rechts KachelX + 1 53377 KachelY 86144 -0.58286476 -0.85788116 -33.395691 -49.152970
    Unten links KachelX 53376 KachelY + 1 86145 -0.58291270 -0.85791251 -33.398438 -49.154766
    Unten rechts KachelX + 1 53377 KachelY + 1 86145 -0.58286476 -0.85791251 -33.395691 -49.154766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85788116--0.85791251) × R
    3.13499999999856e-05 × 6371000     		dl = 199.730849999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85788116--0.85791251) × R
    3.13499999999856e-05 × 6371000     		dr = 199.730849999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58291270--0.58286476) × cos(-0.85788116) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.654041749545626 × 6371000     		do = 199.761185345736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58291270--0.58286476) × cos(-0.85791251) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.654018034251751 × 6371000     		du = 199.753942084555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85788116)-sin(-0.85791251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654041749545626-0.654018034251751)×R²
    abs(-0.58286476--0.58291270)×2.37152938749041e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37152938749041e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37152938749041e-05×40589641000000     		ar = 39897.7479980509m²