Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53376 / 94336
↖ ↑ ↗
← S 61.773123°
W 33.398438°		 ← 144.46 m → S 61.773123°
W 33.395691°		 →
↑
144.49 m
↓
↑
144.49 m
↓
S 61.774422°
W 33.398438°		 ← 144.45 m →
20 873 m²		 S 61.774422°
W 33.395691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407230377197266 y=0.719730377197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407230377197266 × 217)
    floor (0.407230377197266 × 131072)
    floor (53376.5)     		tx = 53376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719730377197266 × 217)
    floor (0.719730377197266 × 131072)
    floor (94336.5)     		ty = 94336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53376 / 94336 ti = "17/53376/94336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53376/94336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53376 ÷ 217
    53376 ÷ 131072     		x = 0.4072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94336 ÷ 217
    94336 ÷ 131072     		y = 0.7197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4072265625 × 2 - 1) × π
    -0.185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58291270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7197265625 × 2 - 1) × π
    -0.439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.38058270905762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58291270} λ = -0.58291270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38058270905762))-π/2
    2×atan(0.251431998661621)-π/2
    2×0.246325971794247-π/2
    0.492651943588495-1.57079632675     		φ = -1.07814438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58291270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.398438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07814438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.773123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53376 KachelY 94336 -0.58291270 -1.07814438 -33.398438 -61.773123
    Oben rechts KachelX + 1 53377 KachelY 94336 -0.58286476 -1.07814438 -33.395691 -61.773123
    Unten links KachelX 53376 KachelY + 1 94337 -0.58291270 -1.07816706 -33.398438 -61.774422
    Unten rechts KachelX + 1 53377 KachelY + 1 94337 -0.58286476 -1.07816706 -33.395691 -61.774422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07814438--1.07816706) × R
    2.26800000000527e-05 × 6371000     		dl = 144.494280000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07814438--1.07816706) × R
    2.26800000000527e-05 × 6371000     		dr = 144.494280000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58291270--0.58286476) × cos(-1.07814438) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.472964130311865 × 6371000     		do = 144.455419493863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58291270--0.58286476) × cos(-1.07816706) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.472944147257663 × 6371000     		du = 144.449316154746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07814438)-sin(-1.07816706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.472964130311865-0.472944147257663)×R²
    abs(-0.58286476--0.58291270)×1.9983054202255e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9983054202255e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9983054202255e-05×40589641000000     		ar = 20872.5408842135m²