Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53377 / 86143
↖ ↑ ↗
← S 49.151173°
W 33.395691°		 ← 199.73 m → S 49.151173°
W 33.392945°		 →
↑
199.79 m
↓
↑
199.79 m
↓
S 49.152970°
W 33.395691°		 ← 199.72 m →
39 904 m²		 S 49.152970°
W 33.392945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407238006591797 y=0.657222747802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407238006591797 × 217)
    floor (0.407238006591797 × 131072)
    floor (53377.5)     		tx = 53377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657222747802734 × 217)
    floor (0.657222747802734 × 131072)
    floor (86143.5)     		ty = 86143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53377 / 86143 ti = "17/53377/86143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53377/86143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53377 ÷ 217
    53377 ÷ 131072     		x = 0.407234191894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86143 ÷ 217
    86143 ÷ 131072     		y = 0.657218933105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407234191894531 × 2 - 1) × π
    -0.185531616210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.58286476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657218933105469 × 2 - 1) × π
    -0.314437866210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.987835690470497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58286476} λ = -0.58286476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.987835690470497))-π/2
    2×atan(0.372381768899963)-π/2
    2×0.356473261241285-π/2
    0.71294652248257-1.57079632675     		φ = -0.85784980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58286476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.395691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85784980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.151173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53377 KachelY 86143 -0.58286476 -0.85784980 -33.395691 -49.151173
    Oben rechts KachelX + 1 53378 KachelY 86143 -0.58281683 -0.85784980 -33.392945 -49.151173
    Unten links KachelX 53377 KachelY + 1 86144 -0.58286476 -0.85788116 -33.395691 -49.152970
    Unten rechts KachelX + 1 53378 KachelY + 1 86144 -0.58281683 -0.85788116 -33.392945 -49.152970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85784980--0.85788116) × R
    3.13600000000358e-05 × 6371000     		dl = 199.794560000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85784980--0.85788116) × R
    3.13600000000358e-05 × 6371000     		dr = 199.794560000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58286476--0.58281683) × cos(-0.85784980) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.654065471761074 × 6371000     		do = 199.726760209991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58286476--0.58281683) × cos(-0.85788116) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.654041749545626 × 6371000     		du = 199.719516346126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85784980)-sin(-0.85788116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654065471761074-0.654041749545626)×R²
    abs(-0.58281683--0.58286476)×2.37222154474415e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37222154474415e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37222154474415e-05×40589641000000     		ar = 39903.5965374187m²