Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53378 / 86146
↖ ↑ ↗
← S 49.156562°
W 33.392945°		 ← 199.75 m → S 49.156562°
W 33.390198°		 →
↑
199.73 m
↓
↑
199.73 m
↓
S 49.158358°
W 33.392945°		 ← 199.74 m →
39 895 m²		 S 49.158358°
W 33.390198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407245635986328 y=0.657245635986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407245635986328 × 217)
    floor (0.407245635986328 × 131072)
    floor (53378.5)     		tx = 53378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657245635986328 × 217)
    floor (0.657245635986328 × 131072)
    floor (86146.5)     		ty = 86146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53378 / 86146 ti = "17/53378/86146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53378/86146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53378 ÷ 217
    53378 ÷ 131072     		x = 0.407241821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86146 ÷ 217
    86146 ÷ 131072     		y = 0.657241821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407241821289062 × 2 - 1) × π
    -0.185516357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58281683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657241821289062 × 2 - 1) × π
    -0.314483642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.987979501169357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58281683} λ = -0.58281683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.987979501169357))-π/2
    2×atan(0.37232822026806)-π/2
    2×0.356426232993295-π/2
    0.712852465986591-1.57079632675     		φ = -0.85794386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58281683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.392945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85794386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.156562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53378 KachelY 86146 -0.58281683 -0.85794386 -33.392945 -49.156562
    Oben rechts KachelX + 1 53379 KachelY 86146 -0.58276889 -0.85794386 -33.390198 -49.156562
    Unten links KachelX 53378 KachelY + 1 86147 -0.58281683 -0.85797521 -33.392945 -49.158358
    Unten rechts KachelX + 1 53379 KachelY + 1 86147 -0.58276889 -0.85797521 -33.390198 -49.158358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85794386--0.85797521) × R
    3.13499999999856e-05 × 6371000     		dl = 199.730849999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85794386--0.85797521) × R
    3.13499999999856e-05 × 6371000     		dr = 199.730849999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58281683--0.58276889) × cos(-0.85794386) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.653994318315093 × 6371000     		do = 199.746698627052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58281683--0.58276889) × cos(-0.85797521) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.653970601735674 × 6371000     		du = 199.739454973232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85794386)-sin(-0.85797521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653994318315093-0.653970601735674)×R²
    abs(-0.58276889--0.58281683)×2.37165794189087e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37165794189087e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37165794189087e-05×40589641000000     		ar = 39894.854514261m²